#3 Ignoraba que estuvieses también por aquí.
¡Suerte con esta aventura!

#4 Sí, llevo aquí prácticamente desde que empezó Menéame (acabo de mirar y me registré en enero de 2006 )..

Muchas gracias, a ver qué tal se da este nuevo proyecto .

#198 No te esfuerces en explicar lo que querías decir, y céntrate en la puñetera frase que has dicho . Por supuesto que la negación de "es continua" es "no es continua" . Lo que no es una negación de "es continua" es "es no continua", eso es lo que ya te dije hace varios comentarios que es lo que te está liando. Si no es continua, puede que no sea nada o puede que sea otras mil otras cosas, pero lo que está claro es que continua no es, de la misma forma que lo contrario de "es rubio" es "no es rubio", lo cual no obliga a que sea moreno, sino que puede ser pelirrojo, castaño o incluso calvo (que sería el equivalente a no ser nada: ni rubio, ni moreno, ni continuo ni no continuo ).

Si quieres seguir con esto, Intenta expresar tu frase con predicados y proposición lógica, como hice yo, y entonces te lo explico a partir de ahí

#196 Que mi frase esté abriendo la posibilidad de que sí sea continua lo dices tú, no yo

Lo dice la frase

Lo voy a intentar de nuevo. Mi frase va por la siguiente "creencia":

"Si f tiene una discontinuidad en un punto 'a', entonces f no es continua en dicho punto."

Tu frase no dice eso!!

Si f tiene una discontinuidad en 'a' pero no existe f(a), se tiene que f no es ni continua ni no continua en 'a'

Por supuesto. El tema es que "no es ni continua ni no continua" => No es continua. Y tu frase está diciendo que sí puede ser continua

Como ves, en ningún momento se deja abierta la posibilidad de que f pueda ser continua en 'a' (de nuevo, creo que esto era evidente, pero parece que hace falta aclararlo)

Pero cómo que no??

cambias 'significa' por 'implica', puede que lo comprendas mejor y te des cuenta de que mi frase es correcta y sí expresa lo que quiero expresar.

Cambiando significa por implica, la frase queda:

"el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no implica, necesariamente, que no sea continua en dicho punto"

Y el significado sigue siendo el mismo: no implica, necesariamente, que no sea continua => puede que sea continua. Joder, no lo veo tan difícil de entender... Ya que hablas de implicación y somos matemáticos, lo único ya que se me ocurre para que lo veas es que expreses la frase como proposición lógica y compruebes que es verdadera cuando la función es continua en el punto:

no(discontinua => no (continua))

discontinua=V
continua=V
no(continua)=F
V=>F = F
no(F) = V

Estoy usando "=" como símbolo de equivalencia. Como ves, la proposición es verdadera cuando la función es continua y discontinua en el punto, lo cual es absurdo.

#197 Simplemente viendo esta respuesta a una expresión mía

"Si f tiene una discontinuidad en un punto 'a', entonces f no es continua en dicho punto."

Tu frase no dice eso!!

estoy convencido de que no vas a entender (o "querer entender", ya no sé qué pensar) lo que quiero decir.

Aunque hace ya unos cuantos comentarios que empecé a pensar que igual estaba perdiendo el tiempo, he intentado en unas cuantas ocasiones que comprendas lo que quería decir, pero sigues empeñado en decir que "mi frase" lleva a pensar que f puede ser continua. Y no, eso es falso, ya que lo contrario de "no continua" no es "continua", sino que es "continua o nada" (porque hay 3 posibilidades, no dos, como parece que te sigues empeñando en afirmar). Pero bueno, después de la de veces que he intentado que lo veas no sé ni para qué intento aclarártelo otra vez.

Si nuestra conversación va a seguir dando vueltas como hasta ahora, por mí se ha terminado. Sea como sea, ha tenido su interés.

Un saludo.

#198 No te esfuerces en explicar lo que querías decir, y céntrate en la puñetera frase que has dicho . Por supuesto que la negación de "es continua" es "no es continua" . Lo que no es una negación de "es continua" es "es no continua", eso es lo que ya te dije hace varios comentarios que es lo que te está liando. Si no es continua, puede que no sea nada o puede que sea otras mil otras cosas, pero lo que está claro es que continua no es, de la misma forma que lo contrario de "es rubio" es "no es rubio", lo cual no obliga a que sea moreno, sino que puede ser pelirrojo, castaño o incluso calvo (que sería el equivalente a no ser nada: ni rubio, ni moreno, ni continuo ni no continuo ).

Si quieres seguir con esto, Intenta expresar tu frase con predicados y proposición lógica, como hice yo, y entonces te lo explico a partir de ahí

#194 "Una función puede tener una discontinuidad en un punto, y eso no tiene por qué significar que no sea continua"

Lo que has dicho ha sido, textualmente:

"el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto"

Precisamente el hecho de que pueda no ser ni continua ni discontinua en el punto es lo que hace incorrecta tu frase, te está liando la doble negación unido a que son tres posibles casos, no dos. No tiene nada que ver ni con "mi" visión de continuidad ni con "tu" división de continuidad, insisto una vez más. Sustituye "continua", "no continua" y "ni continua ni no continua" por "A", "B", "C", y lo verás más claro. Asumimos que "discontinua" se contradice con "A". La frase ahora es "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea "A"". Si "no significa, necesariamente, que no sea A", significa que podría ser "A" (continua), lo cual parece que estamos de acuerdo en que es absurdo.

Vamos, que la existencia de discontinuidad en un punto no implica necesariamente que la función no sea continua en ese punto...porque podría ser que en dicho punto no fuera nada

Pero es que tu frase también está abriendo la opción a que sí sea continua!!

Espero que ahora sí hayas entendido lo que quiero decir. Si no es así, de verdad que lo siento, pero no sé cómo explicártelo mejor.

Yo sí espero que ahora hayas entendido lo que quiero decir, porque parece que ni te molestas en leer lo que digo. Te estoy diciendo que no tiene nada que ver con tu idea de "discontinuidad" y sigues erre que erre con lo mismo. Te dije hace varios comentarios que, por supuesto, la función puede no ser ni continua ni discontinua en un punto, pero parece que ni me lees. Es un problema semántico, tu frase es incorrecta porque no expresa lo que crees que expresa.

#195 Que mi frase esté abriendo la posibilidad de que sí sea continua lo dices tú, no yo. Esa interpretación que haces sobre el significado de mi frase es errónea, pero parece que tienes que añadirla para tener la razón (porque es evidente que yo no quiero decir eso, ni mi frase lo insinúa siquiera).

Lo voy a intentar de nuevo. Mi frase va por la siguiente "creencia":

"Si f tiene una discontinuidad en un punto 'a', entonces f no es continua en dicho punto."

Y eso es correcto solamente cuando existe f(a). Si f tiene una discontinuidad en 'a' pero no existe f(a), se tiene que f no es ni continua ni no continua en 'a'. Como ves, en ningún momento se deja abierta la posibilidad de que f pueda ser continua en 'a' (de nuevo, creo que esto era evidente, pero parece que hace falta aclararlo). Por eso digo que la frase en negrita no es necesariamente cierta (sólo lo es en algunos casos).

Si en mi frase

"el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto"

cambias 'significa' por 'implica', puede que lo comprendas mejor y te des cuenta de que mi frase es correcta y sí expresa lo que quiero expresar.

#196 Que mi frase esté abriendo la posibilidad de que sí sea continua lo dices tú, no yo

Lo dice la frase

Lo voy a intentar de nuevo. Mi frase va por la siguiente "creencia":

"Si f tiene una discontinuidad en un punto 'a', entonces f no es continua en dicho punto."

Tu frase no dice eso!!

Si f tiene una discontinuidad en 'a' pero no existe f(a), se tiene que f no es ni continua ni no continua en 'a'

Por supuesto. El tema es que "no es ni continua ni no continua" => No es continua. Y tu frase está diciendo que sí puede ser continua

Como ves, en ningún momento se deja abierta la posibilidad de que f pueda ser continua en 'a' (de nuevo, creo que esto era evidente, pero parece que hace falta aclararlo)

Pero cómo que no??

cambias 'significa' por 'implica', puede que lo comprendas mejor y te des cuenta de que mi frase es correcta y sí expresa lo que quiero expresar.

Cambiando significa por implica, la frase queda:

"el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no implica, necesariamente, que no sea continua en dicho punto"

Y el significado sigue siendo el mismo: no implica, necesariamente, que no sea continua => puede que sea continua. Joder, no lo veo tan difícil de entender... Ya que hablas de implicación y somos matemáticos, lo único ya que se me ocurre para que lo veas es que expreses la frase como proposición lógica y compruebes que es verdadera cuando la función es continua en el punto:

no(discontinua => no (continua))

discontinua=V
continua=V
no(continua)=F
V=>F = F
no(F) = V

Estoy usando "=" como símbolo de equivalencia. Como ves, la proposición es verdadera cuando la función es continua y discontinua en el punto, lo cual es absurdo.

#197 Simplemente viendo esta respuesta a una expresión mía

"Si f tiene una discontinuidad en un punto 'a', entonces f no es continua en dicho punto."

Tu frase no dice eso!!

estoy convencido de que no vas a entender (o "querer entender", ya no sé qué pensar) lo que quiero decir.

Aunque hace ya unos cuantos comentarios que empecé a pensar que igual estaba perdiendo el tiempo, he intentado en unas cuantas ocasiones que comprendas lo que quería decir, pero sigues empeñado en decir que "mi frase" lleva a pensar que f puede ser continua. Y no, eso es falso, ya que lo contrario de "no continua" no es "continua", sino que es "continua o nada" (porque hay 3 posibilidades, no dos, como parece que te sigues empeñando en afirmar). Pero bueno, después de la de veces que he intentado que lo veas no sé ni para qué intento aclarártelo otra vez.

Si nuestra conversación va a seguir dando vueltas como hasta ahora, por mí se ha terminado. Sea como sea, ha tenido su interés.

Un saludo.

#198 No te esfuerces en explicar lo que querías decir, y céntrate en la puñetera frase que has dicho . Por supuesto que la negación de "es continua" es "no es continua" . Lo que no es una negación de "es continua" es "es no continua", eso es lo que ya te dije hace varios comentarios que es lo que te está liando. Si no es continua, puede que no sea nada o puede que sea otras mil otras cosas, pero lo que está claro es que continua no es, de la misma forma que lo contrario de "es rubio" es "no es rubio", lo cual no obliga a que sea moreno, sino que puede ser pelirrojo, castaño o incluso calvo (que sería el equivalente a no ser nada: ni rubio, ni moreno, ni continuo ni no continuo ).

Si quieres seguir con esto, Intenta expresar tu frase con predicados y proposición lógica, como hice yo, y entonces te lo explico a partir de ahí

#192 ¿Tu idea de discontinuidad permite que la función tenga una discontinuidad en un punto y al mismo tiempo sea continua en ese punto?. Porque justo eso es lo que estás diciendo... Dices que has intentado explicarlo "mucho", pero lo único que repites es que para ti no es lo mismo "discontinuidad" que "no continuidad", lo cual está más que claro, pero es que el problema no es ese.

#193 No, no estoy diciendo eso. "Eso" es lo que tú has entendido, pero mi frase no dice eso.

Concretamente, dice lo siguiente:

"Una función puede tener una discontinuidad en un punto, y eso no tiene por qué significar que no sea continua".

Vamos, que la existencia de discontinuidad en un punto no implica necesariamente que la función no sea continua en ese punto...porque podría ser que en dicho punto no fuera nada. Ejemplo: f(x)=1/x. Tiene una discontinuidad en x=0, pero en ese punto no es ni continua ni no continua, simplemente "no es".

Tú vuelves a interpretar mi frase con "tu" visión de la continuidad, no con la mía.

Espero que ahora sí hayas entendido lo que quiero decir. Si no es así, de verdad que lo siento, pero no sé cómo explicártelo mejor.

Un saludo.

#194 "Una función puede tener una discontinuidad en un punto, y eso no tiene por qué significar que no sea continua"

Lo que has dicho ha sido, textualmente:

"el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto"

Precisamente el hecho de que pueda no ser ni continua ni discontinua en el punto es lo que hace incorrecta tu frase, te está liando la doble negación unido a que son tres posibles casos, no dos. No tiene nada que ver ni con "mi" visión de continuidad ni con "tu" división de continuidad, insisto una vez más. Sustituye "continua", "no continua" y "ni continua ni no continua" por "A", "B", "C", y lo verás más claro. Asumimos que "discontinua" se contradice con "A". La frase ahora es "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea "A"". Si "no significa, necesariamente, que no sea A", significa que podría ser "A" (continua), lo cual parece que estamos de acuerdo en que es absurdo.

Vamos, que la existencia de discontinuidad en un punto no implica necesariamente que la función no sea continua en ese punto...porque podría ser que en dicho punto no fuera nada

Pero es que tu frase también está abriendo la opción a que sí sea continua!!

Espero que ahora sí hayas entendido lo que quiero decir. Si no es así, de verdad que lo siento, pero no sé cómo explicártelo mejor.

Yo sí espero que ahora hayas entendido lo que quiero decir, porque parece que ni te molestas en leer lo que digo. Te estoy diciendo que no tiene nada que ver con tu idea de "discontinuidad" y sigues erre que erre con lo mismo. Te dije hace varios comentarios que, por supuesto, la función puede no ser ni continua ni discontinua en un punto, pero parece que ni me lees. Es un problema semántico, tu frase es incorrecta porque no expresa lo que crees que expresa.

#195 Que mi frase esté abriendo la posibilidad de que sí sea continua lo dices tú, no yo. Esa interpretación que haces sobre el significado de mi frase es errónea, pero parece que tienes que añadirla para tener la razón (porque es evidente que yo no quiero decir eso, ni mi frase lo insinúa siquiera).

Lo voy a intentar de nuevo. Mi frase va por la siguiente "creencia":

"Si f tiene una discontinuidad en un punto 'a', entonces f no es continua en dicho punto."

Y eso es correcto solamente cuando existe f(a). Si f tiene una discontinuidad en 'a' pero no existe f(a), se tiene que f no es ni continua ni no continua en 'a'. Como ves, en ningún momento se deja abierta la posibilidad de que f pueda ser continua en 'a' (de nuevo, creo que esto era evidente, pero parece que hace falta aclararlo). Por eso digo que la frase en negrita no es necesariamente cierta (sólo lo es en algunos casos).

Si en mi frase

"el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto"

cambias 'significa' por 'implica', puede que lo comprendas mejor y te des cuenta de que mi frase es correcta y sí expresa lo que quiero expresar.

#196 Que mi frase esté abriendo la posibilidad de que sí sea continua lo dices tú, no yo

Lo dice la frase

Lo voy a intentar de nuevo. Mi frase va por la siguiente "creencia":

"Si f tiene una discontinuidad en un punto 'a', entonces f no es continua en dicho punto."

Tu frase no dice eso!!

Si f tiene una discontinuidad en 'a' pero no existe f(a), se tiene que f no es ni continua ni no continua en 'a'

Por supuesto. El tema es que "no es ni continua ni no continua" => No es continua. Y tu frase está diciendo que sí puede ser continua

Como ves, en ningún momento se deja abierta la posibilidad de que f pueda ser continua en 'a' (de nuevo, creo que esto era evidente, pero parece que hace falta aclararlo)

Pero cómo que no??

cambias 'significa' por 'implica', puede que lo comprendas mejor y te des cuenta de que mi frase es correcta y sí expresa lo que quiero expresar.

Cambiando significa por implica, la frase queda:

"el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no implica, necesariamente, que no sea continua en dicho punto"

Y el significado sigue siendo el mismo: no implica, necesariamente, que no sea continua => puede que sea continua. Joder, no lo veo tan difícil de entender... Ya que hablas de implicación y somos matemáticos, lo único ya que se me ocurre para que lo veas es que expreses la frase como proposición lógica y compruebes que es verdadera cuando la función es continua en el punto:

no(discontinua => no (continua))

discontinua=V
continua=V
no(continua)=F
V=>F = F
no(F) = V

Estoy usando "=" como símbolo de equivalencia. Como ves, la proposición es verdadera cuando la función es continua y discontinua en el punto, lo cual es absurdo.

#197 Simplemente viendo esta respuesta a una expresión mía

"Si f tiene una discontinuidad en un punto 'a', entonces f no es continua en dicho punto."

Tu frase no dice eso!!

estoy convencido de que no vas a entender (o "querer entender", ya no sé qué pensar) lo que quiero decir.

Aunque hace ya unos cuantos comentarios que empecé a pensar que igual estaba perdiendo el tiempo, he intentado en unas cuantas ocasiones que comprendas lo que quería decir, pero sigues empeñado en decir que "mi frase" lleva a pensar que f puede ser continua. Y no, eso es falso, ya que lo contrario de "no continua" no es "continua", sino que es "continua o nada" (porque hay 3 posibilidades, no dos, como parece que te sigues empeñando en afirmar). Pero bueno, después de la de veces que he intentado que lo veas no sé ni para qué intento aclarártelo otra vez.

Si nuestra conversación va a seguir dando vueltas como hasta ahora, por mí se ha terminado. Sea como sea, ha tenido su interés.

Un saludo.

#190 Nunca he visto ni usado una definición de "función discontinua en un punto".

Yo sí la he visto, al menos, como ya dije, en el Marsden-Tromba. En ese caso, además, se mojan también definiendo "función discontinua", a secas, como aquella función que es discontinua en algún punto de su dominio. Y ya digo que es la definición que me parece más lógica, aunque esto es opinable, claro

Solamente he visto y usado "función continua en un punto" y "función no continua en un punto" para los puntos en los que tiene sentido plantearse la continuidad. Por tanto, no existe tal definición "mía" de función discontinua.

Otra cosa, repito, es "discontinuidad de una función en un punto", que, vuelvo a repetir, no veo igual que "no continuidad en un punto"

Yo también repito que para mí tampoco es lo mismo "discontinuidad de una función en un punto" que "no continuidad en un punto", pero por distintos motivos que los tuyos: para mí discontinuidad implica que el punto pertenece al dominio de la función. Relee tu frase, lo que probablemente querías decir es "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que sea no continua en dicho punto". Puede parecer lo mismo, pero no lo es, lo que estás diciendo es que podría darse simultáneamente una discontinuidad y una continuidad en el mismo punto, y eso es absurdo, independientemente de la definición de discontinuidad que tomes.

Por todo ello, veo que la inclusión del tratamiento de los puntos de acumulación en la búsqueda de discontinuidades es esencial.

Eso si consideras que puede haber discontinuidades fuera del dominio de la función. Pero, en cualquier caso, yo me refería a que no es necesario siquiera introducir el concepto de "punto de acumulación"; los conceptos de número real, límite, función continua y discontinuidad deberían ser suficientes.

Si tú no estás dentro de esa, el comentario no se aplica a ti, pero te aseguro que ese conjunto de personas es no vacío.

Yo creo, y al menos aquí en Menéame es lo que se ve, que la dificultad para entender la continuidad de 1/x está en que la gráfica de la función son 2 líneas separadas, hablando en plata, mientras que la de ln(x) es una única línea, por lo que esta última sí puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. En el artículo dices "se ve un salto que choca un poco con la noción intuitiva de continuidad que muchos tenemos: lo de que una función es continua si la puedo dibujar sin levantar el lápiz del papel". Yo no veo ese salto por ningún lado ni veo por qué choca con la noción de dibujar sin levantar el lápiz del papel. Entiendo que por "salto" te refieras a la discontinuidad de salto, pero eso no tiene nada que ver con el "salto" en la gráfica que hay en 1/x y que entiendo que es la que produce la confusión, al menos a la mayoría de la gente. Parece que te haya molestado que "critique" el ejemplo, y no veo por qué, ya dije que te creo si me dices que el ejemplo le ha ayudado a alguien

#191 No me molesta que critiques el ejemplo, es lícito que lo hagas. Simplemente he intentado explicar varias veces por qué lo puse, y fue por la gente que piensa lo que te comenté antes (el tema de que el límite por la derecha de 0 diverja negativamente). Tú no lo ves así (de hecho, es lo que me parece correcto), pero otra gente sí tiene ese error, como ya he comentado antes. Lo que parece es que crees que ese ejemplo va dirigido a la gente que tiene claro ese tema, y evidentemente no es así.

Y volvemos a "la frase". Estás leyéndola con "tu "idea sobre función continua, discontinuidad, etc, y yo la escribí con "mi" idea sobre funcion continua, discontinudad, etc. Así que sí, la frase es exactamente como la redacté por primera vez, y tiene todo el sentido (aunque tú, por mucho que he intentado explicarlo, no se lo encuentres).

Creo que la conversación ha llegado a un punto muerto. Ha sido interesante para mí conversar sobre este tema.

Un saludo.

#192 ¿Tu idea de discontinuidad permite que la función tenga una discontinuidad en un punto y al mismo tiempo sea continua en ese punto?. Porque justo eso es lo que estás diciendo... Dices que has intentado explicarlo "mucho", pero lo único que repites es que para ti no es lo mismo "discontinuidad" que "no continuidad", lo cual está más que claro, pero es que el problema no es ese.

#193 No, no estoy diciendo eso. "Eso" es lo que tú has entendido, pero mi frase no dice eso.

Concretamente, dice lo siguiente:

"Una función puede tener una discontinuidad en un punto, y eso no tiene por qué significar que no sea continua".

Vamos, que la existencia de discontinuidad en un punto no implica necesariamente que la función no sea continua en ese punto...porque podría ser que en dicho punto no fuera nada. Ejemplo: f(x)=1/x. Tiene una discontinuidad en x=0, pero en ese punto no es ni continua ni no continua, simplemente "no es".

Tú vuelves a interpretar mi frase con "tu" visión de la continuidad, no con la mía.

Espero que ahora sí hayas entendido lo que quiero decir. Si no es así, de verdad que lo siento, pero no sé cómo explicártelo mejor.

Un saludo.

#194 "Una función puede tener una discontinuidad en un punto, y eso no tiene por qué significar que no sea continua"

Lo que has dicho ha sido, textualmente:

"el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto"

Precisamente el hecho de que pueda no ser ni continua ni discontinua en el punto es lo que hace incorrecta tu frase, te está liando la doble negación unido a que son tres posibles casos, no dos. No tiene nada que ver ni con "mi" visión de continuidad ni con "tu" división de continuidad, insisto una vez más. Sustituye "continua", "no continua" y "ni continua ni no continua" por "A", "B", "C", y lo verás más claro. Asumimos que "discontinua" se contradice con "A". La frase ahora es "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea "A"". Si "no significa, necesariamente, que no sea A", significa que podría ser "A" (continua), lo cual parece que estamos de acuerdo en que es absurdo.

Vamos, que la existencia de discontinuidad en un punto no implica necesariamente que la función no sea continua en ese punto...porque podría ser que en dicho punto no fuera nada

Pero es que tu frase también está abriendo la opción a que sí sea continua!!

Espero que ahora sí hayas entendido lo que quiero decir. Si no es así, de verdad que lo siento, pero no sé cómo explicártelo mejor.

Yo sí espero que ahora hayas entendido lo que quiero decir, porque parece que ni te molestas en leer lo que digo. Te estoy diciendo que no tiene nada que ver con tu idea de "discontinuidad" y sigues erre que erre con lo mismo. Te dije hace varios comentarios que, por supuesto, la función puede no ser ni continua ni discontinua en un punto, pero parece que ni me lees. Es un problema semántico, tu frase es incorrecta porque no expresa lo que crees que expresa.

#195 Que mi frase esté abriendo la posibilidad de que sí sea continua lo dices tú, no yo. Esa interpretación que haces sobre el significado de mi frase es errónea, pero parece que tienes que añadirla para tener la razón (porque es evidente que yo no quiero decir eso, ni mi frase lo insinúa siquiera).

Lo voy a intentar de nuevo. Mi frase va por la siguiente "creencia":

"Si f tiene una discontinuidad en un punto 'a', entonces f no es continua en dicho punto."

Y eso es correcto solamente cuando existe f(a). Si f tiene una discontinuidad en 'a' pero no existe f(a), se tiene que f no es ni continua ni no continua en 'a'. Como ves, en ningún momento se deja abierta la posibilidad de que f pueda ser continua en 'a' (de nuevo, creo que esto era evidente, pero parece que hace falta aclararlo). Por eso digo que la frase en negrita no es necesariamente cierta (sólo lo es en algunos casos).

Si en mi frase

"el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto"

cambias 'significa' por 'implica', puede que lo comprendas mejor y te des cuenta de que mi frase es correcta y sí expresa lo que quiero expresar.

#188 Uno de los problemas que tenemos con este tipo de cuestiones es que no haya un organismo que estandarice las definiciones y notaciones matemáticas.

En el Mardsen-Tromba, claramente dicen que el punto tiene que pertenecer al dominio para que sea discontinua en él. Y esta definición la verdad es que es la que me parece más adecuada e intuititiva, por analogía con la de función continua. Sin embargo, está claro que no es la única, de hecho esa definición se carga el concepto de "discontinuidad evitable" que se ve en muchos sitios y que incluyen puntos fuera del dominio. Las otras fuentes que he consultado son el Spivak, que tampoco aclara nada, y los apuntes de 1º y 2º de carrera, donde mencionan las discontinuidades evitables, de primera especie y de segunda especie; pero omiten la definición de "función discontinua en un punto".

La clasificación más completa que he visto está en la Wikipedia (y, aún así, define función continua y, como casi siempre, omite la definición de función discontinua). Distingue entre discontinuidad evitable y esencial y, dentro de esta última, de primera especie y de segunda especie. La novedad que veo aquí con respecto a los libros que tengo es que, en la de primera especie, distingue entre de salto finito, de salto infinito y asintótica.

https://es.wikipedia.org/wiki/Clasificaci%C3%B3n_de_discontinuidades

De la definición que das de "discontinuidad" después de recopilar varias fuentes, yo diría que sobra, al menos, la condición del punto de acumulación. En ese caso, yo no diría que es discontinua. Por otra parte, creo que es innecesario, por redundante, introducir conceptos topológicos para explicar las continuidades o discontinuidades en R, sobre todo teniendo en cuenta que muchos de los que participan en este tipo de hilos no son matemáticos.

En cualquier caso, aún con "tu" definición de función discontinua en un punto, no entiendo que digas "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto". Si es discontinua en el punto, no puede ser continua en ese mismo punto. Si no ha sido una equivocación (¿quizás querías decir que la función es continua aunque tenga una discontinuidad en un punto?), entonces la definición que manejas de función discontinua en un punto es desacertada.

Con respecto al ejemplo de f(x)=ln(x), sigo sin ver cómo puede aclararles nada a los que creen que f(x)=1/x no es continua. En la primera, el punto x=0 está fuera del dominio y deja la gráfica a su derecha, igual que el punto x=-3, por ejemplo. Este caso no debería plantear dudas a nadie, pero es que tampoco veo que ayude a los que dicen que f(x)=1/x no es continua, ya que en este segundo caso, el punto fuera del dominio está en la "mitad" de la gráfica, por lo que sí ven un salto. En el artículo mencionas que también deberían ver un salto en f(x)=ln(x), pero no sé a qué salto te refieres, claramente puede dibujarse esta gráfica sin levantar el lápiz del papel (en el artículo pareces insinuar que no, no sé por qué). Sí, podría debatirse si hay una discontinuidad de salto en x=0 para ln(x), pero ese no es el tipo de "salto" que la gente ve en f(x)=1/x y que les hace creer que no es continua. Por tu último comentario, entiendo que el debate en f(x)=ln(x) está en la existencia, o no, de una discontinuidad de salto infinito, pero ese es otro tema, entiendo que más semántico que otra cosa. En cualquier caso, si me dices que el ejemplo de f(x)=ln(x) le ha ayudado a alguien a entender la continuidad de f(x)=1/x, entonces te creo

#189 Nunca he visto ni usado una definición de "función discontinua en un punto". Solamente he visto y usado "función continua en un punto" y "función no continua en un punto" para los puntos en los que tiene sentido plantearse la continuidad. Por tanto, no existe tal definición "mía" de función discontinua.

Otra cosa, repito, es "discontinuidad de una función en un punto", que, vuelvo a repetir, no veo igual que "no continuidad en un punto". Y no lo veo igual porque, precisamente para las de salto infinito, una función puede tener una discontinuidad de ese tipo pero no ser ni continua ni no continua en él porque, al no pertenecer al dominio, no tiene sentido plantearse la continuidad.

Ésa es la explicación, por segunda vez, de la frase "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto". En esos puntos, la función no es ni continua ni no continua, pero sí presenta una discontinuidad de salto infinito. Por todo ello, veo que la inclusión del tratamiento de los puntos de acumulación en la búsqueda de discontinuidades es esencial.

Sobre el tema de f(x)=ln(x), creo que lo he dejado clarísimo en el comentario anterior. Te lo copio de nuevo:

"Lo de meter f(x)=ln(x) en el asunto es por lo siguiente: hay gente que dice que si uno de los límites laterales diverge, entonces la función presenta una discontinuidad de salto infinito en él...sin tener en cuenta si tiene sentido plantearse el cálculo del otro límite lateral. Para esas personas, f(x)=ln(x) tendría una discontinuidad de salto infinito en x=0, y para mí no la tiene."

Si tú no estás dentro de esa, el comentario no se aplica a ti, pero te aseguro que ese conjunto de personas es no vacío.

Espero que ya sí haya quedado claro y que no le sigamos dando vueltas a lo mismo. Un saludo.

#190 Nunca he visto ni usado una definición de "función discontinua en un punto".

Yo sí la he visto, al menos, como ya dije, en el Marsden-Tromba. En ese caso, además, se mojan también definiendo "función discontinua", a secas, como aquella función que es discontinua en algún punto de su dominio. Y ya digo que es la definición que me parece más lógica, aunque esto es opinable, claro

Solamente he visto y usado "función continua en un punto" y "función no continua en un punto" para los puntos en los que tiene sentido plantearse la continuidad. Por tanto, no existe tal definición "mía" de función discontinua.

Otra cosa, repito, es "discontinuidad de una función en un punto", que, vuelvo a repetir, no veo igual que "no continuidad en un punto"

Yo también repito que para mí tampoco es lo mismo "discontinuidad de una función en un punto" que "no continuidad en un punto", pero por distintos motivos que los tuyos: para mí discontinuidad implica que el punto pertenece al dominio de la función. Relee tu frase, lo que probablemente querías decir es "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que sea no continua en dicho punto". Puede parecer lo mismo, pero no lo es, lo que estás diciendo es que podría darse simultáneamente una discontinuidad y una continuidad en el mismo punto, y eso es absurdo, independientemente de la definición de discontinuidad que tomes.

Por todo ello, veo que la inclusión del tratamiento de los puntos de acumulación en la búsqueda de discontinuidades es esencial.

Eso si consideras que puede haber discontinuidades fuera del dominio de la función. Pero, en cualquier caso, yo me refería a que no es necesario siquiera introducir el concepto de "punto de acumulación"; los conceptos de número real, límite, función continua y discontinuidad deberían ser suficientes.

Si tú no estás dentro de esa, el comentario no se aplica a ti, pero te aseguro que ese conjunto de personas es no vacío.

Yo creo, y al menos aquí en Menéame es lo que se ve, que la dificultad para entender la continuidad de 1/x está en que la gráfica de la función son 2 líneas separadas, hablando en plata, mientras que la de ln(x) es una única línea, por lo que esta última sí puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. En el artículo dices "se ve un salto que choca un poco con la noción intuitiva de continuidad que muchos tenemos: lo de que una función es continua si la puedo dibujar sin levantar el lápiz del papel". Yo no veo ese salto por ningún lado ni veo por qué choca con la noción de dibujar sin levantar el lápiz del papel. Entiendo que por "salto" te refieras a la discontinuidad de salto, pero eso no tiene nada que ver con el "salto" en la gráfica que hay en 1/x y que entiendo que es la que produce la confusión, al menos a la mayoría de la gente. Parece que te haya molestado que "critique" el ejemplo, y no veo por qué, ya dije que te creo si me dices que el ejemplo le ha ayudado a alguien

#191 No me molesta que critiques el ejemplo, es lícito que lo hagas. Simplemente he intentado explicar varias veces por qué lo puse, y fue por la gente que piensa lo que te comenté antes (el tema de que el límite por la derecha de 0 diverja negativamente). Tú no lo ves así (de hecho, es lo que me parece correcto), pero otra gente sí tiene ese error, como ya he comentado antes. Lo que parece es que crees que ese ejemplo va dirigido a la gente que tiene claro ese tema, y evidentemente no es así.

Y volvemos a "la frase". Estás leyéndola con "tu "idea sobre función continua, discontinuidad, etc, y yo la escribí con "mi" idea sobre funcion continua, discontinudad, etc. Así que sí, la frase es exactamente como la redacté por primera vez, y tiene todo el sentido (aunque tú, por mucho que he intentado explicarlo, no se lo encuentres).

Creo que la conversación ha llegado a un punto muerto. Ha sido interesante para mí conversar sobre este tema.

Un saludo.

#192 ¿Tu idea de discontinuidad permite que la función tenga una discontinuidad en un punto y al mismo tiempo sea continua en ese punto?. Porque justo eso es lo que estás diciendo... Dices que has intentado explicarlo "mucho", pero lo único que repites es que para ti no es lo mismo "discontinuidad" que "no continuidad", lo cual está más que claro, pero es que el problema no es ese.

#193 No, no estoy diciendo eso. "Eso" es lo que tú has entendido, pero mi frase no dice eso.

Concretamente, dice lo siguiente:

"Una función puede tener una discontinuidad en un punto, y eso no tiene por qué significar que no sea continua".

Vamos, que la existencia de discontinuidad en un punto no implica necesariamente que la función no sea continua en ese punto...porque podría ser que en dicho punto no fuera nada. Ejemplo: f(x)=1/x. Tiene una discontinuidad en x=0, pero en ese punto no es ni continua ni no continua, simplemente "no es".

Tú vuelves a interpretar mi frase con "tu" visión de la continuidad, no con la mía.

Espero que ahora sí hayas entendido lo que quiero decir. Si no es así, de verdad que lo siento, pero no sé cómo explicártelo mejor.

Un saludo.

#184 Es que igual la cosa es pensar que "discontinuidad" y "no continuidad" es lo mismo, y no

Yo no estoy diciendo eso, "discontinuidad" y "no continuidad", efectivamente, no son lo mismo. "Discontinuidad" de la función en un punto implica que el punto pertenece al dominio de la función, "no continuidad" no implica que el punto pertenezca al dominio

- La continuidad de una función solamente tiene sentido en puntos del dominio.

Estamos de acuerdo en esto. Añado aquí que la discontinuidad de una función también tiene sentido solamente en puntos del dominio.

- ¿La presencia de posibles discontinuidades tiene sentido también en puntos de acumulación que no pertenezcan al dominio?

No

¿Tiene que ver algo eso de "a la izquierda" y "en el medio" que comentas?

¿Tiene que ver con qué? Yo lo que quiero decir es que nadie va a dudar de que f(x)=ln(x) es continua, por lo que no veo qué aporta ese ejemplo didácticamente. Tú mismo has dicho que lo que está liando a la gente es que ven que la gráfica de f(x)=1/x no puede escribirse sin levantar el lápiz del papel, mientras que f(x)=ln(x) sí se puede.

Si te pido que estudies la continuidad y posibles discontinuidades de f(x)=1/x, dirías que es continua y que no presenta discontinuidades en ningún punto, ¿no?

Claro. Por eso digo que no le veo sentido a la frase "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto". f(x)=ln(x) no es discontinua en ningún punto, y la afirmación que haces es falsa, según la definición de función discontinua en un punto. Es decir, "discontinuidad en un punto=>no continuidad en ese punto", mientras que "no continuidad en un punto/=>discontinuidad en el punto"

#184 Olvida parte de lo que he dicho en el comentario anterior, en muchas páginas veo que en la definición de "función discontinua en un punto" se necesita que el punto pertenezca al dominio para que la función sea discontinua en él (es decir, definen función "discontinua en un punto" si la función está definida en ese punto, pero no se satisfacen las 3 condiciones de continuidad), pero estoy repasando la bibliografía de cálculo y veo que no es así

#187 No sé si lo he dicho ya (he contestado a mucha gente estos días e igual me repito), pero comento cómo veo yo todos estos términos:

- Función no continua en un punto: el punto pertenece al dominio, pero la función no es continua en él.
- Función discontinua en un punto: no lo uso para no inducir al error (aunque en el caso de usarlo lo haría como sinónimo de "no continua").
- Función que presenta una discontinuidad en un punto: aquí meto los casos en los que la función es no continua en el punto y el caso en el que es un punto de acumulación que no pertenece al dominio y tiene sentido plantearse el cálculo de ambos límites laterales. En este último caso, si alguno de los límites laterales diverge, se tiene que la función presenta una discontinuidad en ese punto.

Repito que esto es lo que yo he sacado en claro como lo más adecuado, recomendable y/o descriptivo de todo lo que sé y de todo lo que he leído.

Lo de meter f(x)=ln(x) en el asunto es por lo siguiente: hay gente que dice que si uno de los límites laterales diverge, entonces la función presenta una discontinuidad de salto infinito en él...sin tener en cuenta si tiene sentido plantearse el cálculo del otro límite lateral. Para esas personas, f(x)=ln(x) tendría una discontinuidad de salto infinito en x=0, y para mí no la tiene.

Por otra parte, ya que has hablado de la bibliografía que tienes de cálculo me gustaría que comentaras qué libros son y qué es lo que dicen sobre este tema.

#188 Uno de los problemas que tenemos con este tipo de cuestiones es que no haya un organismo que estandarice las definiciones y notaciones matemáticas.

En el Mardsen-Tromba, claramente dicen que el punto tiene que pertenecer al dominio para que sea discontinua en él. Y esta definición la verdad es que es la que me parece más adecuada e intuititiva, por analogía con la de función continua. Sin embargo, está claro que no es la única, de hecho esa definición se carga el concepto de "discontinuidad evitable" que se ve en muchos sitios y que incluyen puntos fuera del dominio. Las otras fuentes que he consultado son el Spivak, que tampoco aclara nada, y los apuntes de 1º y 2º de carrera, donde mencionan las discontinuidades evitables, de primera especie y de segunda especie; pero omiten la definición de "función discontinua en un punto".

La clasificación más completa que he visto está en la Wikipedia (y, aún así, define función continua y, como casi siempre, omite la definición de función discontinua). Distingue entre discontinuidad evitable y esencial y, dentro de esta última, de primera especie y de segunda especie. La novedad que veo aquí con respecto a los libros que tengo es que, en la de primera especie, distingue entre de salto finito, de salto infinito y asintótica.

https://es.wikipedia.org/wiki/Clasificaci%C3%B3n_de_discontinuidades

De la definición que das de "discontinuidad" después de recopilar varias fuentes, yo diría que sobra, al menos, la condición del punto de acumulación. En ese caso, yo no diría que es discontinua. Por otra parte, creo que es innecesario, por redundante, introducir conceptos topológicos para explicar las continuidades o discontinuidades en R, sobre todo teniendo en cuenta que muchos de los que participan en este tipo de hilos no son matemáticos.

En cualquier caso, aún con "tu" definición de función discontinua en un punto, no entiendo que digas "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto". Si es discontinua en el punto, no puede ser continua en ese mismo punto. Si no ha sido una equivocación (¿quizás querías decir que la función es continua aunque tenga una discontinuidad en un punto?), entonces la definición que manejas de función discontinua en un punto es desacertada.

Con respecto al ejemplo de f(x)=ln(x), sigo sin ver cómo puede aclararles nada a los que creen que f(x)=1/x no es continua. En la primera, el punto x=0 está fuera del dominio y deja la gráfica a su derecha, igual que el punto x=-3, por ejemplo. Este caso no debería plantear dudas a nadie, pero es que tampoco veo que ayude a los que dicen que f(x)=1/x no es continua, ya que en este segundo caso, el punto fuera del dominio está en la "mitad" de la gráfica, por lo que sí ven un salto. En el artículo mencionas que también deberían ver un salto en f(x)=ln(x), pero no sé a qué salto te refieres, claramente puede dibujarse esta gráfica sin levantar el lápiz del papel (en el artículo pareces insinuar que no, no sé por qué). Sí, podría debatirse si hay una discontinuidad de salto en x=0 para ln(x), pero ese no es el tipo de "salto" que la gente ve en f(x)=1/x y que les hace creer que no es continua. Por tu último comentario, entiendo que el debate en f(x)=ln(x) está en la existencia, o no, de una discontinuidad de salto infinito, pero ese es otro tema, entiendo que más semántico que otra cosa. En cualquier caso, si me dices que el ejemplo de f(x)=ln(x) le ha ayudado a alguien a entender la continuidad de f(x)=1/x, entonces te creo

#189 Nunca he visto ni usado una definición de "función discontinua en un punto". Solamente he visto y usado "función continua en un punto" y "función no continua en un punto" para los puntos en los que tiene sentido plantearse la continuidad. Por tanto, no existe tal definición "mía" de función discontinua.

Otra cosa, repito, es "discontinuidad de una función en un punto", que, vuelvo a repetir, no veo igual que "no continuidad en un punto". Y no lo veo igual porque, precisamente para las de salto infinito, una función puede tener una discontinuidad de ese tipo pero no ser ni continua ni no continua en él porque, al no pertenecer al dominio, no tiene sentido plantearse la continuidad.

Ésa es la explicación, por segunda vez, de la frase "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto". En esos puntos, la función no es ni continua ni no continua, pero sí presenta una discontinuidad de salto infinito. Por todo ello, veo que la inclusión del tratamiento de los puntos de acumulación en la búsqueda de discontinuidades es esencial.

Sobre el tema de f(x)=ln(x), creo que lo he dejado clarísimo en el comentario anterior. Te lo copio de nuevo:

"Lo de meter f(x)=ln(x) en el asunto es por lo siguiente: hay gente que dice que si uno de los límites laterales diverge, entonces la función presenta una discontinuidad de salto infinito en él...sin tener en cuenta si tiene sentido plantearse el cálculo del otro límite lateral. Para esas personas, f(x)=ln(x) tendría una discontinuidad de salto infinito en x=0, y para mí no la tiene."

Si tú no estás dentro de esa, el comentario no se aplica a ti, pero te aseguro que ese conjunto de personas es no vacío.

Espero que ya sí haya quedado claro y que no le sigamos dando vueltas a lo mismo. Un saludo.

#190 Nunca he visto ni usado una definición de "función discontinua en un punto".

Yo sí la he visto, al menos, como ya dije, en el Marsden-Tromba. En ese caso, además, se mojan también definiendo "función discontinua", a secas, como aquella función que es discontinua en algún punto de su dominio. Y ya digo que es la definición que me parece más lógica, aunque esto es opinable, claro

Solamente he visto y usado "función continua en un punto" y "función no continua en un punto" para los puntos en los que tiene sentido plantearse la continuidad. Por tanto, no existe tal definición "mía" de función discontinua.

Otra cosa, repito, es "discontinuidad de una función en un punto", que, vuelvo a repetir, no veo igual que "no continuidad en un punto"

Yo también repito que para mí tampoco es lo mismo "discontinuidad de una función en un punto" que "no continuidad en un punto", pero por distintos motivos que los tuyos: para mí discontinuidad implica que el punto pertenece al dominio de la función. Relee tu frase, lo que probablemente querías decir es "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que sea no continua en dicho punto". Puede parecer lo mismo, pero no lo es, lo que estás diciendo es que podría darse simultáneamente una discontinuidad y una continuidad en el mismo punto, y eso es absurdo, independientemente de la definición de discontinuidad que tomes.

Por todo ello, veo que la inclusión del tratamiento de los puntos de acumulación en la búsqueda de discontinuidades es esencial.

Eso si consideras que puede haber discontinuidades fuera del dominio de la función. Pero, en cualquier caso, yo me refería a que no es necesario siquiera introducir el concepto de "punto de acumulación"; los conceptos de número real, límite, función continua y discontinuidad deberían ser suficientes.

Si tú no estás dentro de esa, el comentario no se aplica a ti, pero te aseguro que ese conjunto de personas es no vacío.

Yo creo, y al menos aquí en Menéame es lo que se ve, que la dificultad para entender la continuidad de 1/x está en que la gráfica de la función son 2 líneas separadas, hablando en plata, mientras que la de ln(x) es una única línea, por lo que esta última sí puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. En el artículo dices "se ve un salto que choca un poco con la noción intuitiva de continuidad que muchos tenemos: lo de que una función es continua si la puedo dibujar sin levantar el lápiz del papel". Yo no veo ese salto por ningún lado ni veo por qué choca con la noción de dibujar sin levantar el lápiz del papel. Entiendo que por "salto" te refieras a la discontinuidad de salto, pero eso no tiene nada que ver con el "salto" en la gráfica que hay en 1/x y que entiendo que es la que produce la confusión, al menos a la mayoría de la gente. Parece que te haya molestado que "critique" el ejemplo, y no veo por qué, ya dije que te creo si me dices que el ejemplo le ha ayudado a alguien

#191 No me molesta que critiques el ejemplo, es lícito que lo hagas. Simplemente he intentado explicar varias veces por qué lo puse, y fue por la gente que piensa lo que te comenté antes (el tema de que el límite por la derecha de 0 diverja negativamente). Tú no lo ves así (de hecho, es lo que me parece correcto), pero otra gente sí tiene ese error, como ya he comentado antes. Lo que parece es que crees que ese ejemplo va dirigido a la gente que tiene claro ese tema, y evidentemente no es así.

Y volvemos a "la frase". Estás leyéndola con "tu "idea sobre función continua, discontinuidad, etc, y yo la escribí con "mi" idea sobre funcion continua, discontinudad, etc. Así que sí, la frase es exactamente como la redacté por primera vez, y tiene todo el sentido (aunque tú, por mucho que he intentado explicarlo, no se lo encuentres).

Creo que la conversación ha llegado a un punto muerto. Ha sido interesante para mí conversar sobre este tema.

Un saludo.

#181 Yo creo que, didácticamente, no aporta nada, porque x=0 está a la izquierda de la función f(x)=ln(x), mientras que x=0 está en el "medio" de la función f(x)=1/x, que es lo que entiendo que está liando a la gente.
Por otra parte, la frase "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto" es desafortunada, cuando no errónea. El concepto de "función discontinua en un punto" creo que es formal, al igual que "función continua en un punto", al menos veo la definición en la Wikipedia y en multitud de páginas. La función f(x)=ln(x) no es discontinua en x=0, ni tampoco continua, ya que ese punto no pertenece al dominio de la función.

#183 Es que igual la cosa es pensar que "discontinuidad" y "no continuidad" es lo mismo, y no. Yo no estoy hablando de "función no continua", sino de que "una función presente una discontinuidad". Por dar más detalles:

- La continuidad de una función solamente tiene sentido en puntos del dominio.
- ¿La presencia de posibles discontinuidades tiene sentido también en puntos de acumulación que no pertenezcan al dominio?

¿Tiene que ver algo eso de "a la izquierda" y "en el medio" que comentas? Más claro:

Si te pido que estudies la continuidad y posibles discontinuidades de f(x)=1/x, dirías que es continua y que no presenta discontinuidades en ningún punto, ¿no?

#184 Es que igual la cosa es pensar que "discontinuidad" y "no continuidad" es lo mismo, y no

Yo no estoy diciendo eso, "discontinuidad" y "no continuidad", efectivamente, no son lo mismo. "Discontinuidad" de la función en un punto implica que el punto pertenece al dominio de la función, "no continuidad" no implica que el punto pertenezca al dominio

- La continuidad de una función solamente tiene sentido en puntos del dominio.

Estamos de acuerdo en esto. Añado aquí que la discontinuidad de una función también tiene sentido solamente en puntos del dominio.

- ¿La presencia de posibles discontinuidades tiene sentido también en puntos de acumulación que no pertenezcan al dominio?

No

¿Tiene que ver algo eso de "a la izquierda" y "en el medio" que comentas?

¿Tiene que ver con qué? Yo lo que quiero decir es que nadie va a dudar de que f(x)=ln(x) es continua, por lo que no veo qué aporta ese ejemplo didácticamente. Tú mismo has dicho que lo que está liando a la gente es que ven que la gráfica de f(x)=1/x no puede escribirse sin levantar el lápiz del papel, mientras que f(x)=ln(x) sí se puede.

Si te pido que estudies la continuidad y posibles discontinuidades de f(x)=1/x, dirías que es continua y que no presenta discontinuidades en ningún punto, ¿no?

Claro. Por eso digo que no le veo sentido a la frase "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto". f(x)=ln(x) no es discontinua en ningún punto, y la afirmación que haces es falsa, según la definición de función discontinua en un punto. Es decir, "discontinuidad en un punto=>no continuidad en ese punto", mientras que "no continuidad en un punto/=>discontinuidad en el punto"

#184 Olvida parte de lo que he dicho en el comentario anterior, en muchas páginas veo que en la definición de "función discontinua en un punto" se necesita que el punto pertenezca al dominio para que la función sea discontinua en él (es decir, definen función "discontinua en un punto" si la función está definida en ese punto, pero no se satisfacen las 3 condiciones de continuidad), pero estoy repasando la bibliografía de cálculo y veo que no es así

#187 No sé si lo he dicho ya (he contestado a mucha gente estos días e igual me repito), pero comento cómo veo yo todos estos términos:

- Función no continua en un punto: el punto pertenece al dominio, pero la función no es continua en él.
- Función discontinua en un punto: no lo uso para no inducir al error (aunque en el caso de usarlo lo haría como sinónimo de "no continua").
- Función que presenta una discontinuidad en un punto: aquí meto los casos en los que la función es no continua en el punto y el caso en el que es un punto de acumulación que no pertenece al dominio y tiene sentido plantearse el cálculo de ambos límites laterales. En este último caso, si alguno de los límites laterales diverge, se tiene que la función presenta una discontinuidad en ese punto.

Repito que esto es lo que yo he sacado en claro como lo más adecuado, recomendable y/o descriptivo de todo lo que sé y de todo lo que he leído.

Lo de meter f(x)=ln(x) en el asunto es por lo siguiente: hay gente que dice que si uno de los límites laterales diverge, entonces la función presenta una discontinuidad de salto infinito en él...sin tener en cuenta si tiene sentido plantearse el cálculo del otro límite lateral. Para esas personas, f(x)=ln(x) tendría una discontinuidad de salto infinito en x=0, y para mí no la tiene.

Por otra parte, ya que has hablado de la bibliografía que tienes de cálculo me gustaría que comentaras qué libros son y qué es lo que dicen sobre este tema.

#188 Uno de los problemas que tenemos con este tipo de cuestiones es que no haya un organismo que estandarice las definiciones y notaciones matemáticas.

En el Mardsen-Tromba, claramente dicen que el punto tiene que pertenecer al dominio para que sea discontinua en él. Y esta definición la verdad es que es la que me parece más adecuada e intuititiva, por analogía con la de función continua. Sin embargo, está claro que no es la única, de hecho esa definición se carga el concepto de "discontinuidad evitable" que se ve en muchos sitios y que incluyen puntos fuera del dominio. Las otras fuentes que he consultado son el Spivak, que tampoco aclara nada, y los apuntes de 1º y 2º de carrera, donde mencionan las discontinuidades evitables, de primera especie y de segunda especie; pero omiten la definición de "función discontinua en un punto".

La clasificación más completa que he visto está en la Wikipedia (y, aún así, define función continua y, como casi siempre, omite la definición de función discontinua). Distingue entre discontinuidad evitable y esencial y, dentro de esta última, de primera especie y de segunda especie. La novedad que veo aquí con respecto a los libros que tengo es que, en la de primera especie, distingue entre de salto finito, de salto infinito y asintótica.

https://es.wikipedia.org/wiki/Clasificaci%C3%B3n_de_discontinuidades

De la definición que das de "discontinuidad" después de recopilar varias fuentes, yo diría que sobra, al menos, la condición del punto de acumulación. En ese caso, yo no diría que es discontinua. Por otra parte, creo que es innecesario, por redundante, introducir conceptos topológicos para explicar las continuidades o discontinuidades en R, sobre todo teniendo en cuenta que muchos de los que participan en este tipo de hilos no son matemáticos.

En cualquier caso, aún con "tu" definición de función discontinua en un punto, no entiendo que digas "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto". Si es discontinua en el punto, no puede ser continua en ese mismo punto. Si no ha sido una equivocación (¿quizás querías decir que la función es continua aunque tenga una discontinuidad en un punto?), entonces la definición que manejas de función discontinua en un punto es desacertada.

Con respecto al ejemplo de f(x)=ln(x), sigo sin ver cómo puede aclararles nada a los que creen que f(x)=1/x no es continua. En la primera, el punto x=0 está fuera del dominio y deja la gráfica a su derecha, igual que el punto x=-3, por ejemplo. Este caso no debería plantear dudas a nadie, pero es que tampoco veo que ayude a los que dicen que f(x)=1/x no es continua, ya que en este segundo caso, el punto fuera del dominio está en la "mitad" de la gráfica, por lo que sí ven un salto. En el artículo mencionas que también deberían ver un salto en f(x)=ln(x), pero no sé a qué salto te refieres, claramente puede dibujarse esta gráfica sin levantar el lápiz del papel (en el artículo pareces insinuar que no, no sé por qué). Sí, podría debatirse si hay una discontinuidad de salto en x=0 para ln(x), pero ese no es el tipo de "salto" que la gente ve en f(x)=1/x y que les hace creer que no es continua. Por tu último comentario, entiendo que el debate en f(x)=ln(x) está en la existencia, o no, de una discontinuidad de salto infinito, pero ese es otro tema, entiendo que más semántico que otra cosa. En cualquier caso, si me dices que el ejemplo de f(x)=ln(x) le ha ayudado a alguien a entender la continuidad de f(x)=1/x, entonces te creo

#189 Nunca he visto ni usado una definición de "función discontinua en un punto". Solamente he visto y usado "función continua en un punto" y "función no continua en un punto" para los puntos en los que tiene sentido plantearse la continuidad. Por tanto, no existe tal definición "mía" de función discontinua.

Otra cosa, repito, es "discontinuidad de una función en un punto", que, vuelvo a repetir, no veo igual que "no continuidad en un punto". Y no lo veo igual porque, precisamente para las de salto infinito, una función puede tener una discontinuidad de ese tipo pero no ser ni continua ni no continua en él porque, al no pertenecer al dominio, no tiene sentido plantearse la continuidad.

Ésa es la explicación, por segunda vez, de la frase "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto". En esos puntos, la función no es ni continua ni no continua, pero sí presenta una discontinuidad de salto infinito. Por todo ello, veo que la inclusión del tratamiento de los puntos de acumulación en la búsqueda de discontinuidades es esencial.

Sobre el tema de f(x)=ln(x), creo que lo he dejado clarísimo en el comentario anterior. Te lo copio de nuevo:

"Lo de meter f(x)=ln(x) en el asunto es por lo siguiente: hay gente que dice que si uno de los límites laterales diverge, entonces la función presenta una discontinuidad de salto infinito en él...sin tener en cuenta si tiene sentido plantearse el cálculo del otro límite lateral. Para esas personas, f(x)=ln(x) tendría una discontinuidad de salto infinito en x=0, y para mí no la tiene."

Si tú no estás dentro de esa, el comentario no se aplica a ti, pero te aseguro que ese conjunto de personas es no vacío.

Espero que ya sí haya quedado claro y que no le sigamos dando vueltas a lo mismo. Un saludo.

#43 si, pero son otros los que piensan por ti

#44 En eso tienes razón 😀

#39 pero ese número primo p no es divisor unico nunca entre p y p^2 de ningún numero contenido en ese tramo y gracias a eso puedo hacer la excel que dice si un número es primo o no y en el caso que no lo sea indica los factores primos. intenta hacerla, te aseguro que no es fácil

#40 Sólo te respondía a esto que dijiste en #38: "y el cuadrado de todo número primo tiene com o único divisor ese primo".

Teniendo https://isthisprime.com, no me interesa esa tabla Excel 😉

#43 si, pero son otros los que piensan por ti

#44 En eso tienes razón 😀

#36 he dedicado un tiempo buscando primos por métodos propios y llevo más de 75.000 terminos testados y más de 7000 primos listados y hasta ahora excepto el 2 y el 3 todos están contenidos en ese conjunto (6n+1 y 6n-1) y el cuadrado de todo número primo tiene com o único divisor ese primo. también he hecho una hoja excel que identifica si un número es primo o no lo es hasta el 160800

#38 No es por desanimarte, pero estás perdiendo el tiempo:

- Todo número primo mayor que 3 es de la forma 6n+1 ó 6n-1 (para algún n entero positivo). Te lo demostré en #32.

- Para todo primo p, se cumple que el único divisor propio (es decir, divisor que no sea el 1 o el mismo número) de p^2 es el propio p. Esto es evidente por el hecho de que p sea primo.

Vamos, que testar si un primo es de uno de esos tipos es una pérdida de tiempo (seguro que lo és), y confirmar que el único divisor (propio) de p^2 es p también es perder el tiempo (porque es cierto para todo primo).

#39 pero ese número primo p no es divisor unico nunca entre p y p^2 de ningún numero contenido en ese tramo y gracias a eso puedo hacer la excel que dice si un número es primo o no y en el caso que no lo sea indica los factores primos. intenta hacerla, te aseguro que no es fácil

#40 Sólo te respondía a esto que dijiste en #38: "y el cuadrado de todo número primo tiene com o único divisor ese primo".

Teniendo https://isthisprime.com, no me interesa esa tabla Excel 😉

#43 si, pero son otros los que piensan por ti

#44 En eso tienes razón 😀

#35, ya, si eso ha quedado claro con el enlace que ha puesto otro usuario. Y tú solo has puesto la formulación original, ninguna pega, desde luego.

#32 has leido ... el pero? ".....pero no todos los multiplos de 6 más 1 o menos 1 son primos. " por eso digo están contenidos en el conjunto pero no que todo el conjunto sean primos. es que no sé si lo he expresado bien, ya que no soy matemático, solo un curioso.

#34 Claro, lo que dices de

"pero no todos los multiplos de 6 más 1 o menos 1 son primos"

se puede demostrar dando un ejemplo de un múltiplo de 6 más 1 y de un múltiplo de 6 menos 1 que no sean primos, y eso es lo que he hecho en el primer punto:

"- No todo número de la forma 6n+1 ó 6n-1 es primo:

Con dos contraejemplos vale, ¿no? Pues ahí van: ni 25 = 6 · 4 + 1 ni 35 = 6 · 6 - 1 son primos."

#36 he dedicado un tiempo buscando primos por métodos propios y llevo más de 75.000 terminos testados y más de 7000 primos listados y hasta ahora excepto el 2 y el 3 todos están contenidos en ese conjunto (6n+1 y 6n-1) y el cuadrado de todo número primo tiene com o único divisor ese primo. también he hecho una hoja excel que identifica si un número es primo o no lo es hasta el 160800

#38 No es por desanimarte, pero estás perdiendo el tiempo:

- Todo número primo mayor que 3 es de la forma 6n+1 ó 6n-1 (para algún n entero positivo). Te lo demostré en #32.

- Para todo primo p, se cumple que el único divisor propio (es decir, divisor que no sea el 1 o el mismo número) de p^2 es el propio p. Esto es evidente por el hecho de que p sea primo.

Vamos, que testar si un primo es de uno de esos tipos es una pérdida de tiempo (seguro que lo és), y confirmar que el único divisor (propio) de p^2 es p también es perder el tiempo (porque es cierto para todo primo).

#39 pero ese número primo p no es divisor unico nunca entre p y p^2 de ningún numero contenido en ese tramo y gracias a eso puedo hacer la excel que dice si un número es primo o no y en el caso que no lo sea indica los factores primos. intenta hacerla, te aseguro que no es fácil

#40 Sólo te respondía a esto que dijiste en #38: "y el cuadrado de todo número primo tiene com o único divisor ese primo".

Teniendo https://isthisprime.com, no me interesa esa tabla Excel 😉

#43 si, pero son otros los que piensan por ti

#44 En eso tienes razón 😀

#31, se puede reescribir sin meter el 1, tipo "dista 1 de una suma de los primos anteriores".

#33 También es verdad, pero no quedaría igual que decir que "es igual a"...

Quizás en la época en la que Scherk formuló su conjetura, el 1 sí se consideraba primo. Creo que sabía más o menos desde cuándo ya no se le considera primo, pero no lo recuerdo ahora.

#35, ya, si eso ha quedado claro con el enlace que ha puesto otro usuario. Y tú solo has puesto la formulación original, ninguna pega, desde luego.

#31 al final, siendo "por convenio", puedes considerarlo primo o no, "según convenga"

#211 No me van a hacer cambiar de "opinión" (pongo las comillas por cuestiones semánticas) si los argumentos van a ser los mismos y, de hecho, no me imagino qué argumentos podrían hacerme cambiar de "opinión" (comillas semánticas de nuevo). Así que mejor nos ahorramos tiempo.

Por cierto, me encanta el surrealismo de dar un rodeo, llamándole sólo raíz a x| y decir que éste sirve para calcular que "existe otro" valor que cumple lo mismo que queríamos "invertir" (más comillas semánticas) al principio, en vez de decir que son tanto X como -X los valores de raíz de X².

Saludos.

#212 No cambies el nombre a las cosas para intentar que beneficien tu opinión (sin comillas). Lo de x| no es ningún rodeo, es la definición de la operación √, sin más.

Esperaba que la conversación iba a ir en otro tono, que no iba a ser un "mi opinión (sobre algo que no es opinable) es ésta y punto, de aquí no me muevo", pero veo que sí lo es. Tienes razón en que mejor nos ahorramos tiempo, que es muy valioso (al menos para mí el mío lo es).

Un saludo.