#8 si te sirve de consuelo, lo que pone el artículo es incomprensible para quien no sabe nada de espacios de Hilbert, independientemente del coeficiente intelectual. Y ya los intentos de explicar algo así con una pelota girando me parece hasta ridículo.
#16 Hilbert??...
Ahh ya se... no era el hermano de este? http://25.media.tumblr.com/tumblr_mc5v2mG88C1qf5y35o1_500.png
#16 "Podemos imaginar, tal vez no muy bien, una pelota de dimensión infinita y un espacio de dimensiones infinitas en lugar de una pelota tridimensional en un espacio tridimensional. Lo que podemos probar es que ese balón tridimensional infinito puede girar en un espacio tridimensional infinito"
No es que me quede clarito, pero al menos me ha evocado a Bohm, y una intuición me dice que hay que revisar aquello del universo implicado... Ah! cómo quisiera ser matemático.
#8 #16
Pues a mi el ejemplo de la pelota me parece muy bueno.
O en lugar de una pelota, el planeta Tierra en movimiento de rotación. Cuando ves girar el planeta ves que Europa se mueve, América se mueve, etc... pero un punto del Polo Norte está siempre en el mismo sitio. Al no cambiar se dice que es invariante respecto a dicho operador... en este caso el operador u operación es el giro.
Pero no sólo un punto del Polo Norte es invariante, también un punto del Polo Sur... y cualquier punto de la recta que une esos dos puntos... Dicha recta se llama eje de rotación y es un subespacio (de dimensión 1) del espacio de tres dimensiones.
(para entender un poco más todo eso falta definir qué se entiende por operador "lineal" ... y qué es eso de "espacio" o "subespacio", más bien se suele hablar de "espacio vectorial" o "subespacio vectorial", que son conceptos abstractos generales ... estos conceptos se suelen estudiar en primero de carrera )
#26 Hola Acido, gracias. ¿Es un subespacio porque está considerado en otra dimensión del espacio? ¿A qué se refiere Eva con "no trivial"?
#27
"¿Es un subespacio porque está considerado en otra dimensión del espacio?"
¿"otra" dimensión del espacio? No se a qué te refieres.
El concepto de subespacio es similar al de subconjunto.
Por ejemplo, imagina el conjunto de puntos de un plano. Pues bien, una recta de dicho plano es un subconjunto. ¿de acuerdo? El plano tiene 2 dimensiones y la recta tiene una dimensión.
Al tener dos dimensiones el plano se suele modelizar en matemáticas mediante 2 números reales. De esa forma, cualquier punto del plano se representa de la forma (x, y) siendo "x" un número real e "y" otro número real. Esa "x" es la cantidad que avanzas en una dirección del espacio y la "y" lo que avanzas en la otra dirección. Por ejemplo, puedes decirle a alguien que para llegar a tu casa debe avanzar 803.1 metros al este y 750.3 metros al norte. En matemáticas representarías el punto de la casa como (803.1 , 750.3) Siendo la base dos vectores, el primero un metro apuntando al Este y el segundo un metro apuntando al Norte.
Ahora imagina los puntos de la forma (0, y). Dichos puntos forman una recta, que en el ejemplo geográfico sería un meridiano (línea en la que te mueves al norte o al sur pero no en dirección este u oeste). En concreto, se trata del Meridiano de Greenwich. Evidentemente es un subconjunto. Y tiene dimensión 1 porque con un sólo número real puedes localizar cualquier punto de esa recta.
Sin embargo, el concepto de subespacio va más allá del de subconjunto.
En un Espacio Vectorial (EV) se definen dos operaciones: una "suma" y un "producto por un escalar". Y para que sea EV se debe cumplir que la suma sea interna (que si sumas dos vectores del espacio obtienes SIEMPRE otro vector de dicho espacio). Pues bien, un subespacio es un subconjunto del conjunto de vectores sobre el que has definido el primer espacio que cumpla que sea espacio vectorial también, con la misma suma y mismo producto por escalar.
Veamos el ejemplo del Meridiano de Greenwich: si sumas (0, 1) y (0, 2) obtienes (0, 3) que pertenece a dicho subconjunto... En general, si sumas (0, y1) y (0, y2) obtienes (0, y1+y2) que siempre pertenece a dicho Meridiano, luego dicho Meridiano es un supespacio del plano.
Ahora veamos un subconjunto que no sea subespacio: Sea el meridiano (1, y). Si sumas (1, y1) y (1, y2) obtienes (1+1, y1+y2) = (2, y1+y2) ... el cual no pertenece nunca al meridiano (1, y) ya que nunca un (2, z) será igual a un (1, y) sea cual sea el z y el y que escojas. Tampoco el producto por un escalar es interno en este caso. Si haces 3*(1, y) = (3*1, 3*y) = (3, w) que nunca pertenece al suconjunto original. Así que (1, y) es un subconjunto y tiene dimensión 1 (con un número, el y, se define cualquier punto de ese subconjunto) pero no es un subespacio.
En este caso los únicos subespacios son rectas que pasan por el origen, es decir, rectas que tengan el vector (0, 0). Otro ejemplo de subespacio sería el del Ecuador: (x, 0)
En el ejemplo 3D de la rotación de la Tierra, el giro alrededor del centro de la Tierra es una aplicación lineal que se aplica a los puntos del espacio 3D y dado que el eje de giro pasa por el origen, es decir, por el Centro de la Tierra (0, 0, 0) pues es un subespacio y no sólo un simple subconjunto.
'¿A qué se refiere Eva con "no trivial"? '
Eva dice:
"es que en dimensión infinita, en un espacio de Hilbert, siempre hay un subespacio invariante, no trivial, para todo operador que sea lineal y continuo".
Cuando se habla de "trivial" en matemáticas sería equivalente a "de cajón" en lenguaje coloquial. Por ejemplo, puedes definir un subespacio de un sólo punto que sea el origen de coordenadas (también llamado "elemento neutro" de la suma: X + 0 = X... es neutro, no afecta cuando lo sumas). Es "de cajón" o "trivial" que dicho punto es un subconjunto del conjunto total y también "de cajón" o "trivial" que es subespacio vectorial... En el ejemplo de la Tierra, cuando aplicas cualquier giro es trivial que hay al menos un subespacio que es invariante ya que el origen será invariante al giro... lo que ya puede no ser tan "trivial" es que haya subespacios de dimensión 1 que sean invariantes al giro, para cualquier giro.
#28 Gracias por el esfuerzo, ha sido una excelente explicación. La abstracción me ha superado en el 5to párrafo. No soy matemático -apenas un adicto a la filosofía- pero he intentado hacer un esfuerzo "justo" para comprender (es que a mí tienen que hacerme el dibujo en la pizarra, sino...
...imagina el conjunto de puntos de un plano. Pues bien, una recta de dicho plano es un subconjunto. ¿de acuerdo? El plano tiene 2 dimensiones y la recta tiene una dimensión.
Con "otra" dimensión del espacio me refería a eso. Hay una dimensión, 2 dimensiones, tridimensionalidad, etc... La relación que intento comprender es la del subespacio invariable del eje de la pelota que sostiene Cowen, y el subespacio invariable del meridiano de Greenwich mientras la sostiene. De hecho, he evocado el péndulo de Foucault.
Es que el espacio puede ser una entidad o una relación de entidades; parto del presupuesto que sea ambas. Una vez más, muchas gracias por lo explicado, ha sido implicado.
Incluso he tomado papel y lápiz; en estos tiempos, no es fácil!
#31
Bueno, va en gustos. Se podría haber dicho: han resuelto el problema 'Subespacios invariantes en espacios de Hilbert' y dejarlo ahí... ampliándolo quizá con cosas que entienda todo el mundo pero que no tengan nada que ver con el asunto ¿el color de pelo de la mujer? ¿la altura del hombre?
O bien lo que han hecho, ampliarlo con declaraciones de los autores de la demostración... que a lo mejor sólo sirven ligeramente a un 5% de los lectores, pero que tiene total relación con el tema de la noticia.
Yo prefiero esta segunda opción. El que tenga interés en saber qué tiene que ver un giro con algo invariante y le hablen de una pelota y un eje pues lo mismo se da cuenta de al girar la pelota el eje son los puntos invariantes. O si no se da cuenta de eso, puede buscar en Wikipedia o preguntar como alguno preguntó aquí. Si hubiesen elegido la primera opción les habríamos criticado de poco serios, de hablar de cosas insustanciales. Y si no cuentan nada les acusaríamos de dar poca importancia a la ciencia. Para una noticia de ciencia, que implica a alguien español y que hablan de ciencia y no cagándola diciendo cosas mal sino reproduciendo las palabras del propio científico ¿les vamos a criticar también por eso? ¿vamos a apoyar el atontamiento de la gente "porque, total no tienen nivel y no lo van a entender" ??
Simplemente impagable
Si lo compran por 200 es que ha costado o costará bastante más a las arcas públicas, siempre ha sido así, y siempre lo será.
Una vez más, de vergüenza. Tratan a los investigadores como si fueran tornillos en una fábrica