Voy a daros aquí una demostración muy simplificada, debida a Jules Richard ( http://en.wikipedia.org/wiki/Jules_richard ) y propuesta unos 30 años antes que el teorema de Gödel. La "paradoja de Richard" a su vez se basó en el "argumento diagonal" de Cantor, propuesto unos 10 años antes. Me ha parecido que la versión de Richard es muy ilustrativa. No la he escrito en otra web, os la escribo directamente en el comentario #1. (NOTA: esta noticia NO está duplicada)
PASO 1º) PARTIMOS DE TENER ALGUNA DESCRIPCIÓN CIENTÍFICA ESCRITA EN ALGÚN LENGUAJE:
Bueno, pues vamos a crearnos nuestro "cuerpo científico de andar por casa".
En nuestro caso, nuestra "teoría científica escrita en algún lenguaje" vamos a considerar que es la Aritmética.
Pero no os asustéis, no nos vamos a complicar la vida aquí con símbolos raros +, x, -, v, ^, y todas esas tonterías.
Vamos a utilizar el español vulgar.
Los significados hacia los que vamos a emplear nuestro español vulgar, son los números naturales (los que enseñamos a los niños chicos: 1, 2, 3, 4, .....)
Vamos a construir "nuestra ciencia aritmética": vamos a suponer que nos dedicamos a escribir expresiones en español vulgar, que signifiquen, que describan o que se refieran, como prefiráis decirlo, a conjuntos de números.
Por ejemplo, una expresión posible y válida sería: "Los números uno, dos y tres". O simplemente "uno, dos, tres". Estas dos expresiones, significan el conjunto formado por los números 1, 2 y 3.
Vamos a admitir que podamos también crear expresiones, definitorias o descriptivas de conjuntos de números, un poco más indirectas o rebuscadas. Por ejemplo: "todos los números mayores que cinco". Ésta también sería una expresión válida, y representaría o significaría el conjunto de todos los números mayores que cinco, es decir, el conjunto
Así, también valdrán expresiones "rebuscadas". Por ejemplo: "Todos los números múltiplos de 7". O también: "Todos los números que, entre sus factores primos, no tengan al 11". Fácilmente vemos que, ambas expresiones, también envuelven en su significado, o hacen referencia, a conjuntos de números.
De esta forma, podríamos hacer una tabla de 2 columnas.
En la columna izquierda, escribimos todas las expresiones en español vulgar que nos podamos inventar, para describir conjuntos de números.
Y en la columna derecha, escribimos los correspondientes o respectivos conjuntos de números, significados o descritos por cada expresión.
PASO 2º): CREACIÓN DE LOS "NÚMEROS DE GÖDEL.
Vamos a imaginarnos que ya tenemos escritas TODAS las expresiones posibles que el español vulgar nos permita crear, para describir o significar conjuntos de números.
Sería un listado enorme de expresiones, escritas en español.
Bien, pues ahora, vamos a transformar estas expresiones en números .
Dicho con otras palabras, vamos a ingeniar un procedimiento, para asociar a cada expresión un número, que le sea propio y exclusivo. Podemos imaginárnoslo como "etiquetar" cada expresión española, con un número.
Pero, como os he prometido una demostración sencilla, tampoco nos vamos a andar aquí con tonterías de códigos raros y procedimientos raros para transformar cada expresión en un número.
Nosotros nos lo vamos a montar mucho más guay.
Tenemos un listado enorme de expresiones en español (que significan distintos conjuntos de números).
Vamos a ordenar este listado enorme de expresiones, de la siguiente manera:
regla a) Si una expresión es más corta que otra (es decir, si tiene menos letras y símbolos, válidos del español vulgar), entonces va antes (más arriba) en el listado. Es decir: las expresiones más cortas van antes, y las expresiones más largas van después.
rebla b) Si dos expresiones son igual de largas (es decir, si tienen el mismo número de letras y signos españoles), entonces se ordenan entre sí alfabéticamente, así de simple.
Bien, de esta manera, tenemos un procedimiento perfectamente definido para formar un único y larguísimo listado de expresiones españolas, ordenado conforme a las dos reglas anteriores, a) y b).
Vale, pues vamos a numerar este listado.
Es decir, la expresión que esté en primer lugar en el listado, irá asociada al número 1 (o irá "etiquetada" con el número 1). La expresión que esté en segundo lugar en el listado, irá asociada al número 2, etcétera.
Así, todas nuestras expresiones en español (descriptivas de conjuntos de números), quedan, cada una de ellas respectivamente, asociadas a un número: el número que le corresponda, según la numeración que acabamos de decir, esto es, el número que le corresponda según la numeración correlativa del listado ordenado de todas las expresiones españolas.
PASO FINAL: LA CREACIÓN DE UNA NUEVA EXPRESIÓN O FRASE PARA EL LISTADO, QUE ES MUY PERO QUE MUY PUÑETERA.
Voy a demostraros que puedo escribir una frase o expresión más, que: 1º) aun estando correctamente escrita en español; y 2º) aun ofreciendo una descripción o definición buena de un conjunto de números; ... es decir, aun cumpliendo todas las condiciones que cumplen nuestras demás expresiones españolas que sí están en nuestro larguísimo listado, no puede estar incluida en nuestro larguísimo listado de expresiones posibles.
Pero vamos, por supuesto, a continuar por nuestra "línea guay" de sencillez.
Para conseguir construir esta "frase puñetera" (o "expresión puñetera"), vamos antes a fijarnos en una cosa: vamos a fijarnos en una cosilla, que puede ocurrir en nuestro listado.
Vamos por un momento a hacer un pequeño ejercicio de imaginación: vamos a suponer que en nuestro listado, está la expresión "Todos los números mayores que veinticinco". Recordemos que habíamos ordenado nuestro listado, y que habíamos numerado todas las expresiones por su posición en el listado. Así que a la expresión recién aludida, "Todos los números mayores que veinticinco", le corresponderá algún número, por su posición en el listado. Vamos a suponer que este número es, por ejemplo, el 73. Pues bien, ahora, vamos a hacer el siguiente ejercicio: leemos o releemos la expresión, para considerar cuál es el conjunto de números definido, descrito o representado por dicha expresión; y a continuación, como segundo paso, vemos o comprobamos si, el número que se le asignó a la expresión española, por su posición en el listado, está o no dentro de dicho mismo conjunto de números, significado o descrito por la propia expresión.
Vamos a hacer este ejercicio con la expresión de nuestro ejemplo: la leemos o volvemos a leer: "Todos los números mayores que veinticinco"; ahora pensamos en cuál es el conjunto de números significado por dicha expresión; este conjunto, lógicamente, es el conjunto de todos los números mayores que veinticinco, es decir, ; ahora, el siguiente paso, es ver qué número habíamos asignado a esta expresión española, por su posición en el listado; este número es el 73. Y entonces, finalmente, nos preguntamos: ¿Está el número 73 incluido en el conjunto . La respuesta es: claramente SÍ.
Bien, pues si esto ocurre, vamos por un momento a ponernos de acuerdo en decir o hablar de este hecho, de algún modo que sea cómodo y corto. Diremos: "El número 73 está en su expresión española".
Así, "El número 73 está en su expresión española", significa que el número 73, está asignado en el listado de expresiones españolas, a una expresión española, y que, esta expresión española a su vez, significa o describe un conjunto de números, de forma tal, que el número 73 mismo, también está incluido dentro de este conjunto de números, significado o descrito por la expresión española.
En general diríamos "El número X está en su expresión española".
Y claro, por supuesto, puede darse también el caso de que algún número, "no esté en su expresión española". Esto sería el caso contrario.
Por ejemplo, vamos a referirnos ahora a la expresión española: "Todos los números pares". Vamos a suponer que la posición en el listado, de esta expresión española, es la número 19. En este caso, "El número 19 NO está en su expresión española", porque el 19 es un número impar (y su expresión española se refiere a todos los números pares).
Así que ahora, en nuestro larguísimo listado de expresiones españolas numeradas, podemos distinguir dos tipos de números: los que "SÍ están en su respectiva expresión española", y los que "NO están en su respectiva expresión española".
¡¡ TA*-*CHAAAN !! LA FRASE PUÑETERA...
La siguiente frase o expresión española, NO PUEDE ESTAR EN EL LISTADO, AUN CUMPLIENDO TODAS LAS CONDICIONES PARA TENER DERECHO A ESTAR EN EL LISTADO:
"El conjunto de todos los números que NO estén en sus respectivas expresiones españolas"
¿ Por qué no puede estar en el listado ?
Si estuviese incluida en algún sitio del listado, entonces llevaría asociado su propio número de posición en el listado. Simbolicemos este número como "R".
La pregunta crítica es: ¿ Está "R" (sí o no) en su propia expresión (la "expresión" puñetera) ?
Si NO está, entonces la propia expresión puñetera le obliga a SÍ estar.
Pero si SÍ está, entonces la propia expresión puñetera le obliga a NO estar.
Sólo quería orientarios hacia la cuestión central o crítica del planteamiento de Gödel.
Emmmm eso no es el teorema de Gödel, es una metáfora del método central de la prueba. es el argumento diagonal aplicado a un tipo de lenguaje concreto. El teorema de Gödel dice algo mucho más profundo: La aritmética no puede probar que es consistente (es decir, que de los axiomas que usamos para caracterizar los números naturales no se puede deducir una contradicción del tipo 1=0).
Comentarios
PASO 1º) PARTIMOS DE TENER ALGUNA DESCRIPCIÓN CIENTÍFICA ESCRITA EN ALGÚN LENGUAJE:
Bueno, pues vamos a crearnos nuestro "cuerpo científico de andar por casa".
En nuestro caso, nuestra "teoría científica escrita en algún lenguaje" vamos a considerar que es la Aritmética.
Pero no os asustéis, no nos vamos a complicar la vida aquí con símbolos raros +, x, -, v, ^, y todas esas tonterías.
Vamos a utilizar el español vulgar.
Los significados hacia los que vamos a emplear nuestro español vulgar, son los números naturales (los que enseñamos a los niños chicos: 1, 2, 3, 4, .....)
Vamos a construir "nuestra ciencia aritmética": vamos a suponer que nos dedicamos a escribir expresiones en español vulgar, que signifiquen, que describan o que se refieran, como prefiráis decirlo, a conjuntos de números.
Por ejemplo, una expresión posible y válida sería: "Los números uno, dos y tres". O simplemente "uno, dos, tres". Estas dos expresiones, significan el conjunto formado por los números 1, 2 y 3.
Vamos a admitir que podamos también crear expresiones, definitorias o descriptivas de conjuntos de números, un poco más indirectas o rebuscadas. Por ejemplo: "todos los números mayores que cinco". Ésta también sería una expresión válida, y representaría o significaría el conjunto de todos los números mayores que cinco, es decir, el conjunto
Así, también valdrán expresiones "rebuscadas". Por ejemplo: "Todos los números múltiplos de 7". O también: "Todos los números que, entre sus factores primos, no tengan al 11". Fácilmente vemos que, ambas expresiones, también envuelven en su significado, o hacen referencia, a conjuntos de números.
De esta forma, podríamos hacer una tabla de 2 columnas.
En la columna izquierda, escribimos todas las expresiones en español vulgar que nos podamos inventar, para describir conjuntos de números.
Y en la columna derecha, escribimos los correspondientes o respectivos conjuntos de números, significados o descritos por cada expresión.
PASO 2º): CREACIÓN DE LOS "NÚMEROS DE GÖDEL.
Vamos a imaginarnos que ya tenemos escritas TODAS las expresiones posibles que el español vulgar nos permita crear, para describir o significar conjuntos de números.
Sería un listado enorme de expresiones, escritas en español.
Bien, pues ahora, vamos a transformar estas expresiones en números .
Dicho con otras palabras, vamos a ingeniar un procedimiento, para asociar a cada expresión un número, que le sea propio y exclusivo. Podemos imaginárnoslo como "etiquetar" cada expresión española, con un número.
Pero, como os he prometido una demostración sencilla, tampoco nos vamos a andar aquí con tonterías de códigos raros y procedimientos raros para transformar cada expresión en un número.
Nosotros nos lo vamos a montar mucho más guay.
Tenemos un listado enorme de expresiones en español (que significan distintos conjuntos de números).
Vamos a ordenar este listado enorme de expresiones, de la siguiente manera:
regla a) Si una expresión es más corta que otra (es decir, si tiene menos letras y símbolos, válidos del español vulgar), entonces va antes (más arriba) en el listado. Es decir: las expresiones más cortas van antes, y las expresiones más largas van después.
rebla b) Si dos expresiones son igual de largas (es decir, si tienen el mismo número de letras y signos españoles), entonces se ordenan entre sí alfabéticamente, así de simple.
Bien, de esta manera, tenemos un procedimiento perfectamente definido para formar un único y larguísimo listado de expresiones españolas, ordenado conforme a las dos reglas anteriores, a) y b).
Vale, pues vamos a numerar este listado.
Es decir, la expresión que esté en primer lugar en el listado, irá asociada al número 1 (o irá "etiquetada" con el número 1). La expresión que esté en segundo lugar en el listado, irá asociada al número 2, etcétera.
Así, todas nuestras expresiones en español (descriptivas de conjuntos de números), quedan, cada una de ellas respectivamente, asociadas a un número: el número que le corresponda, según la numeración que acabamos de decir, esto es, el número que le corresponda según la numeración correlativa del listado ordenado de todas las expresiones españolas.
PASO FINAL: LA CREACIÓN DE UNA NUEVA EXPRESIÓN O FRASE PARA EL LISTADO, QUE ES MUY PERO QUE MUY PUÑETERA.
Voy a demostraros que puedo escribir una frase o expresión más, que: 1º) aun estando correctamente escrita en español; y 2º) aun ofreciendo una descripción o definición buena de un conjunto de números; ... es decir, aun cumpliendo todas las condiciones que cumplen nuestras demás expresiones españolas que sí están en nuestro larguísimo listado, no puede estar incluida en nuestro larguísimo listado de expresiones posibles.
Pero vamos, por supuesto, a continuar por nuestra "línea guay" de sencillez.
Para conseguir construir esta "frase puñetera" (o "expresión puñetera"), vamos antes a fijarnos en una cosa: vamos a fijarnos en una cosilla, que puede ocurrir en nuestro listado.
Vamos por un momento a hacer un pequeño ejercicio de imaginación: vamos a suponer que en nuestro listado, está la expresión "Todos los números mayores que veinticinco". Recordemos que habíamos ordenado nuestro listado, y que habíamos numerado todas las expresiones por su posición en el listado. Así que a la expresión recién aludida, "Todos los números mayores que veinticinco", le corresponderá algún número, por su posición en el listado. Vamos a suponer que este número es, por ejemplo, el 73. Pues bien, ahora, vamos a hacer el siguiente ejercicio: leemos o releemos la expresión, para considerar cuál es el conjunto de números definido, descrito o representado por dicha expresión; y a continuación, como segundo paso, vemos o comprobamos si, el número que se le asignó a la expresión española, por su posición en el listado, está o no dentro de dicho mismo conjunto de números, significado o descrito por la propia expresión.
Vamos a hacer este ejercicio con la expresión de nuestro ejemplo: la leemos o volvemos a leer: "Todos los números mayores que veinticinco"; ahora pensamos en cuál es el conjunto de números significado por dicha expresión; este conjunto, lógicamente, es el conjunto de todos los números mayores que veinticinco, es decir, ; ahora, el siguiente paso, es ver qué número habíamos asignado a esta expresión española, por su posición en el listado; este número es el 73. Y entonces, finalmente, nos preguntamos: ¿Está el número 73 incluido en el conjunto . La respuesta es: claramente SÍ.
Bien, pues si esto ocurre, vamos por un momento a ponernos de acuerdo en decir o hablar de este hecho, de algún modo que sea cómodo y corto. Diremos: "El número 73 está en su expresión española".
Así, "El número 73 está en su expresión española", significa que el número 73, está asignado en el listado de expresiones españolas, a una expresión española, y que, esta expresión española a su vez, significa o describe un conjunto de números, de forma tal, que el número 73 mismo, también está incluido dentro de este conjunto de números, significado o descrito por la expresión española.
En general diríamos "El número X está en su expresión española".
Y claro, por supuesto, puede darse también el caso de que algún número, "no esté en su expresión española". Esto sería el caso contrario.
Por ejemplo, vamos a referirnos ahora a la expresión española: "Todos los números pares". Vamos a suponer que la posición en el listado, de esta expresión española, es la número 19. En este caso, "El número 19 NO está en su expresión española", porque el 19 es un número impar (y su expresión española se refiere a todos los números pares).
Así que ahora, en nuestro larguísimo listado de expresiones españolas numeradas, podemos distinguir dos tipos de números: los que "SÍ están en su respectiva expresión española", y los que "NO están en su respectiva expresión española".
¡¡ TA*-*CHAAAN !! LA FRASE PUÑETERA...
La siguiente frase o expresión española, NO PUEDE ESTAR EN EL LISTADO, AUN CUMPLIENDO TODAS LAS CONDICIONES PARA TENER DERECHO A ESTAR EN EL LISTADO:
"El conjunto de todos los números que NO estén en sus respectivas expresiones españolas"
¿ Por qué no puede estar en el listado ?
Si estuviese incluida en algún sitio del listado, entonces llevaría asociado su propio número de posición en el listado. Simbolicemos este número como "R".
La pregunta crítica es: ¿ Está "R" (sí o no) en su propia expresión (la "expresión" puñetera) ?
Si NO está, entonces la propia expresión puñetera le obliga a SÍ estar.
Pero si SÍ está, entonces la propia expresión puñetera le obliga a NO estar.
Sólo quería orientarios hacia la cuestión central o crítica del planteamiento de Gödel.
#4 Pues has elegido mal el titular. Recomiendo descartes ésta y vuelvas a enlazarla con un titular que no se confunda con otras entradas.
Total, estás enlazando la Wikipedia.
Emmmm eso no es el teorema de Gödel, es una metáfora del método central de la prueba. es el argumento diagonal aplicado a un tipo de lenguaje concreto. El teorema de Gödel dice algo mucho más profundo: La aritmética no puede probar que es consistente (es decir, que de los axiomas que usamos para caracterizar los números naturales no se puede deducir una contradicción del tipo 1=0).
dupe Explicación sencilla del teorema de Gödel
Explicación sencilla del teorema de Gödel
aldea-irreductible.blogspot.com#2 No es dupe