En cualquier caso los problemas pueden necesitar habilidades de cualquier ámbito; el hecho de conocer el campo concreto del problema nos proporciona una gran cantidad de herramientas específicas. Es útil por tanto recordar las principales estrategias específicas en la materia en la que estemos trabajando en cada ocasión. Particularmente para problemas de matemáticas hay algunas técnicas que acaban apareciendo en más de un sitio.
- principio del palomar
- invariantes
- inducción
- tanteo
- acotación
- divisibilidad y congruencias
- revisar los teoremas, fórmulas o modelos del campo
- análisis dimensional (esto más en ciencias aplicadas)
- reducción al absurdo
- descenso (en problemas con números naturales llegar a un mínimo, muy usado por Fermat)
- proceso diagonal (para cardinales infinitos, una gran idea de Cantor)
Otra cuestión es si algunas estrategias nos pueden parecer despreciables por no usar nada sofisticado. Personalmente creo que es un error pensar así, cualquier camino que nos ayude a acercarnos a la solución de un problema es valioso. Cierto es que hay argumentos en los que la mayoría percibimos una elegancia mayor, pero esto no hace que otros caminos deban ser desechados.
III Tenemos un repertorio de ideas, elijamos una que nos resulte atractiva o parezca factible y trabajemos en ella. Para esta etapa a veces es importante la perseverancia. Algunas estrategias son trabajosas, otras no llevan a ninguna parte por prometedoras que parecieran. No obstante, cuando al ejecutar hasta el final la estrategia elegida los resultados son negativos deberemos volver al punto 2 y elegir una nueva. Haber hecho una buena lista de posibilidades hace que este paso sea menos tedioso. Hay quien valora mucho descansar, hacer ejercicio o dormir después de pensar mucho en un problema para retomarlo más adelante, o dedicarse a actividades muy alejadas de él. Entre ellos es famoso el caso de Poincaré, tiene varios escritos en los que explica cómo las ideas se le ocurrían en lugares poco relacionados con su trabajo, como subiendo a un transporte o paseando por la playa. Él creía que su cerebro trabajaba subconscientemente con las ideas y luego le mandaba a la consciencia las más estéticas.
Una estrategia que no lleva a la solución completa puede arrojar luz sobre resultados parciales que ayuden al aplicar la estrategia siguiente.
IV Una vez que hemos resuelto el problema debemos releer el enunciado para contrastar si de verdad lo que hemos concluido es lo que se nos pedía. Además se aprende mucho más de él si le dedicamos un pequeño tiempo a reflexionar sobre el problema.
Hacer un esquema mental del "argumento" de la resolución y entender las ideas principales y sus relaciones. ¿De todos los razonamientos pequeños que hemos unido para resolver el problema sabemos exactamente qué papel juega?
¿La estrategia de resolución es nueva o podemos agruparla con otras anteriores?
¿Se puede generalizar el problema a más casos?
¿Se puede simplificar la resolución que hemos dado?
¿Hay hipótesis innecesarias en el enunciado?
Cuando hacemos estas reflexiones estamos interiorizando y sistematizando nuevas herramientas de resolución que estarán disponibles para utilizarlas en la siguiente ocasión en que nos enfrentemos a un problema. Además podemos disfrutar mucho de la belleza de algunas de nuestras ideas, comparar nuestra resolución con las propuestas por otras personas, evaluar los puntos fuertes y débiles de todas ellas... Y autofelicitarnos, deleitarnos con el trabajo hecho y con el camino recorrido. Incluso si no hemos conseguido resolver el problema propuesto podemos hacernos conscientes del logro parcial de haber entendido las condiciones, propuesto caminos o avanzado en alguno de ellos. Cuanto más disfrutemos mejor disposición tendremos para el próximo reto.
Comentarios
Yo tengo el problema de que si me pongo en serio con un problema y no me sale no duermo, no pienso en otra cosa, no vivo, hasta que lo resuelvo. La última vez me levanté de la cama una madrugada a escribir zumbando en la pizarra la solución que se me ocurrió (sabiendo lo que sumaban las cifras de las páginas de un libro cuantas eran o algo así, me pasó otra vez con un problema tipo si cogemos el número y lo dividimos entre tal sobra esto, enre tal aquello... pero eso fue una mañana).
#1 Yo confieso que me ocurre lo mismo en ocasiones, así que no puedo decir cómo evitarlo. Cuando me vence el cansancio y duermo un par de horas, dejo visible papel y lápiz, por si me levanto con las ideas escribirlas y seguir adelante. Alguna vez he soñado las soluciones a problemas, un gran amigo llegó a tomar por costumbre mandarme dormir cuando algo se nos atascaba.
#2, yo he llegado a resolver un problema para un artículo que los otros 2 coautores no conseguían resolver un día mientras me duchaba. Nunca se sabe dónde te puede llegar la inspiración
#1, venga, demuestra que un número par mayor a 2 se puede poner como suma de 2primos
#9 Troll!
#9 Añado un "si el problema me atrae".
#12 Te ha puesto un problema famoso que lleva mucho tiempo abierto: la conjetura fuerte de Goldbach
#13 Sí, lo conozco. Que majo es este chico...
Ya no salgo, tengo que resolverlo
#14 pues consigue comida...
#14 y cuando termines, aquí tienes unos pocos más
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Problemas_de_Landau
#16 Como me ponga VOTY a intentarlo verás tú si acaban poniendo los premios Xtrem3...
Y por último
el paso 4 es el que menos trabajo yo. Reconozco que no hacerlo es material desperdiciado pero es que no siempre las condiciones del grupo permiten regodearse en el trabajo ya hecho.
Hay alumnos que el hecho de recuadrar la solución y haber terminado el ejercicio les supone abandonar el esfuerzo y la concentración; otros que directamente el ejercicio consistía en "copiar de pizarra" y acabado el trabajo, a charlar o ponerse de pie a mirar por la ventana.
Desgraciadamente, en muchos de los grupos donde he dado clase no podía haber ni un minuto para la reflexión porque equivale a ocio, y el ocio es distracción
El paso 3 es quizás el más desesperante y frustrante para el alumno. Requiere haber practicado lo suficiente como para reconocer el tornillo que deben apretar para regular el carburador de la moto. De una moto a otra el tornillo cambiará de sitio, de forma o puede que no haya tornillo como tal, que sea una tuerca o prisionero y se ajusta a mano. Pero algo hay para regular y es similar a los anteriores.
Es donde el fracaso se presenta y donde dicen "es que a mi no me gustan las matemáticas" o "es que el álgebra es muy difícil".
Como profe, también es frustrante cuando uno ve algo taaaan claro y ellos taaaan oscuro que dan ganas de dejarlo y decir: hagamos algo más fácil y dejemos esto. En este punto me dicen con frecuencia " esto no lo pongas en el examen" a lo que automáticamente, la respuesta es "voy a poner exactamente este, con los mismos números y sin cambiar nada. ¿Podrías estudiarlo y colocarlo tal cual en el examen de memoria si no cambio nada?"
Y ya con esto termino
#19 Muchas gracias por las contribuciones, han sido muy interesantes.
#7 No, si yo soy muy amigo de las metologías ayudan a ahorrar tiempo (y a no perderte si tienes que desconectar un rato por algo
)
Yo lo único que cambiaría de todo lo que has dicho, es que lo de leer el problema, lo haría tras cada paso
Que muchos con la historia de leer en diagonal acaba por perderse
De todas formas yo diré que tengo "el defecto" de ser demasiado intuitivo y ocurrente, por lo que muchas veces no suelo seguir metodología me limito a, una vez que entiendo el problema, buscar una manera de acercarme a la solución, y ver si puedo ir por "esa vía"
#4 A veces seguimos metodologías inconscientes, y nos van sacando del paso. Pero, ¿qué pasa si nos atascamos? A mí me es útil tener unos referentes a los que acudir cuando no veo caminos claros. Lo cierto es que esta metodología la tengo tan interiorizada que rara vez la consulto, salvo para explicitársela a los alumnos.
#5 Yo es que tengo una memoria un poquito rara de algunas cosas me olvido fácilmente, pero de otras no
Hace poco, en un viaje a un sitio con algo de historia, acabamos hablando de las guerras carlistas y uno de mi quita me preguntó que cómo sabía tantas cosas, que sabía que lo habíamos dado en el colegio e instituto, pero que ya no se acordaba de todo eso y le asombraba que yo sí.
Con las cosas que me apasionan me pasa eso me acuerdo de ellas muy bien, pero otras "las descarto rápido" me pasa hasta con la asociación de nombres de personas y sus caras me olvido de la relación a la velocidad del rayo
#6 Es por eso que defiendo una metodología de la enseñanza en que se involucre al máximo a los alumnos, para que de verdad les importe aprender las cosas y no sea el trámite de memorizar, tragar, vomitar en un examen, olvidar.
Caramba, he olvidado la estrategia de "contar de dos maneras".