Damos valores numéricos enteros al polinomio
P(x)=x⁹-6x7+9x⁵-4x³
Y siempre nos sale un número divisible por 8640. ¿Hay algún entero para el que no sea así?
tiene toda la pinta de que no hay ningún entero en el que el resultado no sea múltiplo de 8640, a ver si alguien es capaz de demostrarlo matemáticamente
#7 No hace fata fuerza bruta . Necesitas agrupar los factores del polinomio de tal modo que te ayuden a ver si hay o no múltiplos de 3 d 2 o de 5 en cantidad suficiente. La primera te la doy yo, para n entero, n-2,n-1,n,n+1 y n+2 son enteros consecutivos, por tanto uno de ellos es múltiplo de 5
y su producto también lo será. Si tocara que el exponente de este factor fuera mayor que 1 sería múltiplo de 5² o 5³, pero basta con 5 a secas.
Te juro que siempre es múltiplo de lo que digo, así que hay que centrarse en demostrarlo.
queda demostrado que el resultado siempre es múltiplo de 5 (lo has demostrado tú en tu comentario)
también siempre será múltiplo de 26 porque :
1) si n es par entonces n3 es par, n-2 es par y n+2 es par, con lo cual para n >2 ya tienes potencia 6 como mínimo
2) si n es impar entonces n-1 es par y n+1 es par, con lo cual para n>2 también tienes potencia 6 como mínimo
y también será siempre múltiplo de 33 porque:
1) si n es múltiplo de 3 solo con el x3 ya has cumplido
2) si n no es múltiplo de 3 hay dos opciones
2.1) (n-1) y (n+2) son múltiplos de 3 y ya tienes potencia 3 como mínimo
2.2) (n-2) y (n+1) son múltiplos de 3 y también tienes potencia 3 como mínimo
Con lo cual el resultado siempre es a la vez múltiplo de 3^3 de 2^6 y de 5 y por lo tanto siempre será múltiplo de 8640.
#91) si n es par entonces n^3 es par, n-2 es par y n+2 es par, con lo cual para n >2 ya tienes potencia 6 como mínimo tienes ahí que es 2⁵ para la sexta hay que ver que alguno de los pares es múltiplo de 4=2² 2) si n es impar entonces n-1 es par y n+1 es par Igualmente en este caso hay que notar que uno de ellos es múltiplo de 4=2²
Para los múltiplos de 3 a mí me gusta agrupar los factores así:
(x-2)(x-1)x
(x-1)x(x+1)
x(x+1)(x+2)
Claramente esta es la descomposición de mi polinomio.
Cada una de las lineas tiene 3 enteros consecutivos, por lo que uno de ellos es múltiplo de 3, y en su conjunto de 3³
En cualquier caso tu razonamiento es correcto.
#3 ¿Cómo? ¿Qué te sale? 1, 2, -1 y -2 deberían ser raíces del polinomio si no me he equivocado, y el 0 es siempre divisible por cualquier entero no nulo.
Comentarios
#11 Enhorabuena, bien resuelto.
#5 Efectivamente esa es la factorización. Si factorizas 8640 tendrás una nueva pista de qué debes buscar en la factorización del polinomio.
#6 factorizando que es gerundio: 8640 = 26*33*5
y a fuerza bruta probando con los mil primeros enteros todos dan como resultado un múltiplo de 8640
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Table%5B(x%5E9+-+6+x%5E7+%2B+9+x%5E5+-+4+x%5E3)%2F8640,+%7Bx,+1,+1000%7D%5D
tiene toda la pinta de que no hay ningún entero en el que el resultado no sea múltiplo de 8640, a ver si alguien es capaz de demostrarlo matemáticamente
#7 No hace fata fuerza bruta . Necesitas agrupar los factores del polinomio de tal modo que te ayuden a ver si hay o no múltiplos de 3 d 2 o de 5 en cantidad suficiente. La primera te la doy yo, para n entero, n-2,n-1,n,n+1 y n+2 son enteros consecutivos, por tanto uno de ellos es múltiplo de 5
y su producto también lo será. Si tocara que el exponente de este factor fuera mayor que 1 sería múltiplo de 5² o 5³, pero basta con 5 a secas.
Te juro que siempre es múltiplo de lo que digo, así que hay que centrarse en demostrarlo.
#8 vale, ya está
queda demostrado que el resultado siempre es múltiplo de 5 (lo has demostrado tú en tu comentario)
también siempre será múltiplo de 26 porque :
1) si n es par entonces n3 es par, n-2 es par y n+2 es par, con lo cual para n >2 ya tienes potencia 6 como mínimo
2) si n es impar entonces n-1 es par y n+1 es par, con lo cual para n>2 también tienes potencia 6 como mínimo
y también será siempre múltiplo de 33 porque:
1) si n es múltiplo de 3 solo con el x3 ya has cumplido
2) si n no es múltiplo de 3 hay dos opciones
2.1) (n-1) y (n+2) son múltiplos de 3 y ya tienes potencia 3 como mínimo
2.2) (n-2) y (n+1) son múltiplos de 3 y también tienes potencia 3 como mínimo
Con lo cual el resultado siempre es a la vez múltiplo de 3^3 de 2^6 y de 5 y por lo tanto siempre será múltiplo de 8640.
#9 1) si n es par entonces n^3 es par, n-2 es par y n+2 es par, con lo cual para n >2 ya tienes potencia 6 como mínimo tienes ahí que es 2⁵ para la sexta hay que ver que alguno de los pares es múltiplo de 4=2²
2) si n es impar entonces n-1 es par y n+1 es par Igualmente en este caso hay que notar que uno de ellos es múltiplo de 4=2²
Para los múltiplos de 3 a mí me gusta agrupar los factores así:
(x-2)(x-1)x
(x-1)x(x+1)
x(x+1)(x+2)
Claramente esta es la descomposición de mi polinomio.
Cada una de las lineas tiene 3 enteros consecutivos, por lo que uno de ellos es múltiplo de 3, y en su conjunto de 3³
En cualquier caso tu razonamiento es correcto.
#10 sí, es más elegante plantearlo así
Bonito problema. Gente, es más fácil de lo que parece. En las etiquetas hay buenas pistas.
#1 Suelo poner pistas en las etiquetas.
El 1 y el 2 así como el -1 y el -2 con ninguno de ellos sale algo que divisible por 8640
#3 ¿Cómo? ¿Qué te sale? 1, 2, -1 y -2 deberían ser raíces del polinomio si no me he equivocado, y el 0 es siempre divisible por cualquier entero no nulo.
#4 factorizando el polinomio da P(x) = x3 (x - 2) (x - 1)2 (x + 1)2 (x + 2)
con lo cual 0, 2, 1, -1 y -2 son ráices (dan como resultado cero) y por lo tanto es divisible por cualquier entero
ahora falta por saber si existe algún entero x tal que P(x) no sea múltiplo de 8640