Llegas tarde...

Un alumno llega tarde a una clase y oye decir al profesor "Una pista: todas las raíces son reales y positivas" mientras borra la pizarra. Alcanza a ver que el polinomio tenía como términos de mayor grado x²⁰-20x¹⁹

Mirando los apuntes de un compañero ve que el término independiente era 1. ¿De qué polinomio se trata?

[#6 fantomax]

#5 Lo primero que tengo que saber es que un polinomio es igual a K*(x-a₁)(x-a₂)(x-a₃)...(x-a₂₀). Donde K es su coeficiente principal y (a₁,a₂,a₃,...,a₂₀) Aquí sabemos que K=1
Si multiplico todos los términos, de grado 19 me sale que tienen por coeficiente -(a₁+a₂+a₃+...+a₂₀)
Además el término independiente es (a₁,*a₂*a₃*...*a₂₀)


Así que las raíces, que sabemos que son positivas, tienen media geométrica sqrt[20](1)=1 y por media aritmética 20/20=1
La media geométrica es igual a la aritmética sólo cuando los números son iguales, bajo la hipótesis de ser todos positivos.

[#1 Xtrem3]

#0 Voy a decir (x-1)²⁰, no sé si habrá más que cumplan, pero sé por el binomio de Newton que al empezar este los primeros términos son 1 y -20 y el último 1 y tiene 20 raíces reales y positivas (todas 1) ¿no?

[#2 fantomax]

#1 Ese lo cumple, ¿por qué no podria haber otro?

(ciertamente no hay otro, pero hay una razón para ello)

[#3 Xtrem3]

#2 No, no lo afirmo, supongo que si se cambia el término en cualquier binomio del tipo (ax+b) cambiará o el primer término, qué pasará a ser 'a' o el independiente que no sé si pasará a ser 'b', pero fijo que deja de ser 1. ¿Eso es una demostración?

[#4 fantomax]

#3 No es una demo, no, los matemáticos somos muy particulares al respecto.

[#5 Xtrem3]

#4 No consigo demostrarlo, he hecho eso y más o menos parece que si nos movemos en enteros a y b deben ser 1 y -1, pero eso, no consigo una demostración elegante.