Demostrar que la diferencia entre los valores numéricos de las expresiones (x³+y) y (y³+x) es siempre divisible por 6 si x e y toman valores enteros
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(x^3+y) - (y^3+x) = (x^3-x) - (y^3-y). Esta expresión nos sugiere intentar demostrar que, para cualquier N entero, N^3-N es múltiplo de 6.
Ahora bien: N^3-N se puede expresar como N*(N^2-1). Y sabemos que N^2-1 es igual a (N+1)*(N-1). Entonces, N^3-N es igual a (N-1)*N*(N+1), esto es, el producto de tres números enteros consecutivos.
Y dados tres números enteros consecutivos, sabemos que siempre hay exactamente uno que es múltiplo de tres; y también sabemos que hay al menos un número par (puede ser N, o pueden ser tanto N-1 como N+1). Entonces, N^3-N es múltiplo de 3 y también de dos, por lo cual es múltiplo de mcm(3,2) = 6.
Como N^3-N es múltiplo de 6 para cualquier N entero, entonces x^3-x, así como y^3-y, lo son también, puesto que x e y son enteros.
Así pues, (x^3+y) - (y^3+x) = (x^3-x) - (y^3-y) es la diferencia de dos números múltiplos de 6, y por lo tanto también es divisible por 6.
#4 Admito mi alcoholismo. Tu ganas
Pero a las 7 de la manyana aun voy fresco.
#4 Muy perfecto.
#4 2+3+4 = 9 que no es divisible por 6...
#10 Es el producto, no la suma. 2*3*4 = 24, que sí es divisible por 6.
#11 si si me di cuenta aluego... vine a comentar que era una cagada mia.
#11 Me costó pillar lo del mcm... ahora lo entiendo, si digo lo mismo que tú con otras palabras.
Al ser par, su descomposición en producto de primos tiene un 2 * ...
Al ser multiplo de 3, su descomposición en primos tiene un 3 * ...
Y como todo se multiplica, puedes juntar 2 * 3 * ...
Me costó pillarte.
#4 Hacia decadas que jugaba a estos juegos, neuronas oxidadas y no creo que hubiera llegado a caer en los nº correlativos => multiples de 2 y 3, genial! muy buena.
Tendria que volver a las clases de analisis matematico...
Wolfran dice que...
((x^3 + y) - (y^3 + x)) mod 6 = 0
Por lo tanto...
-6 *(1/6 (x^3 - x - y^3 + y)) + x^3 - x - y^3 + y = 0 es TRUE
Y ahora que se usar el geogebra, me voy a dedicar a los triangulos. No pienso volver a clases de analisis matematico.
x e y tienen que ser valores enteros y distintos, ¿no?
A no ser que 0 se considere divisible entre 6
#2 Cero es divisible por cualquier entero, pues 0*n=0
#2 Da cero... 0 dividido entre 6 el resto es cero.. se puede considerar divisible.
Este comentario es para intentar que otras personas puedan comentar.
Da miedo la palabra "demostrar" pero de verdad que es sencillo.
Se va descomponiendo el polinomio hasta dar con una cosa parecida a 6 x [....] y yasta hecho, pq valga lo que valgan x o y siempre se multiplicarán por 6 y por lo tanto el resultado final es divisible por 6.
Me da que al estar dos elementos elevados al cubo va a haber un 6 en alguna parte...