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Este teorema es uno de los más importantes del siglo XX. Aquí tenéis una selección de textos de distintos científicos que os ayudarán a entenderlo.
En Agosto de 2011 vine a Shanghai con la intención de quedarme un buen tiempo y cuando llegué me quedé realmente asombrado de toda la desinformación que hay sobre China. Así que ahí van catorce consejos a tener en cuenta antes de venir a China... ¡espero que aproveche!
El teorema de Gödel es fácilmente entendible cuando consideramos la paradoja que Gödel "plagió", la paradoja del matemático francés Jules Richard, enunciada más de 30 años antes que Gödel.
Esta paradoja de Richard viene a decir lo siguiente:
Vamos a referirnos a todas las fórmulas y expresiones de la aritmética, entendiendo "fórmula o expresión de la aritmética" como una fórmula o expresión aritmética tal, que existe cierto conjunto de números que cumple o hace verdadera esa misma fórmula o expresión aritmética. Por tanto, para toda fórmula o expresión aritmética, existe un determinado conjunto de números que cumple dicha fórmula o expresión, y que viene a ser como el conjunto de números que queda descrito por dicha fórmula o expresión aritmética. Llamemos a los conjuntos de números que cumplen las distintas expresiones o fórmulas aritméticas, simplemente "CONJUNTOS DE NÚMEROS" de dichas expresiones.
Vamos después a suponer que, aparte, asignamos a todas las fórmulas y expresiones de la aritmética un número (este número, el "número ricardiano", vendría a ser el equivalente del "número de gödeliano"). Por ejemplo, hagámoslo así: ordenamos alfanumérica-lexicográficamente todas las fórmulas y expresiones de la aritmética en una larga lista (por ejemplo, según el estándar ASCII), y entonces numeramos todas estas expresiones, según su posición en la lista: 1ª expresión, 2ª expresión, 3, 4, ..... Ahora cada expresión aritmética tiene asignado un número. Llamemos a estos números que las distintas expresiones aritméticas tienen respectivamente asignados por su posición en la lista ordenada de expresiones, "NÚMEROS RICARDIANOS".
Es decir, a estas alturas de la paradoja de Richard, cada expresión aritmética tiene asignadas dos cosas: 1º) el número de dicha expresión según su posición en la lista ordenada de expresiones, es decir, el "NÚMERO RICARDIANO" perteneciente a dicha expresión; y 2º) el conjunto de números que cumplen dicha expresión, es decir, el "CONJUNTO DE NÚMEROS" de dicha expresión.
Ahora hace falta un tercer paso: simplemente observar que algunas expresiones aritméticas tienen asignado un "NÚMERO RICARDIANO" que también aparece dentro del "CONJUNTO DE NÚMEROS" de esa misma expresión aritmética. A modo de ejemplo explicativo: la expresión aritmética "el conjunto de todos los números impares", tiene como "CONJUNTO DE NÚMEROS" propio el conjunto de todos los números impares. Dicha expresión aritmética también debe tener asignado un "NÚMERO RICARDIANO", por su posición en la lista ordenada global de expresiones aritméticas. Por ejemplo, imaginemos que este "NÚMERO RICARDIANO" de dicha expresión aritmética es el 19, lo que significa que dicha expresión aritmética aparecería en la posición 19ª de la lista total de expresiones. En este caso, el "NÚMERO RICARDIANO" 19 es también un número impar, por lo cual, también aparece en el "CONJUNTO DE NÚMEROS" representado por esta misma expresión aritmética "el conjunto de todos los números impares". En este caso, introduciremos la siguiente denominación: "EL "NÚMERO RICARDANO" 19 APARECE TAMBIÉN EN EL "CONJUNTO DE NÚMEROS" DE SU EXPRESIÓN ARITMÉTICA". Si, por el contrario, la expresión aritmética "el conjunto de todos los números impares" no ocupase un lugar impar en la lista, sino que ocupase un lugar par, por ejemplo la posición 18 de la lista, entonces el "NÚMERO RICARDIANO" de esta expresión sería el 18, y diríamos: "EL "NÚMERO RICARDIANO" 18 NO APARECE EN EL "CONJUNTO DE NÚMEROS" DE SU EXPRESIÓN ARITMÉTICA". Por tanto, al final, tendremos que algunos "NÚMEROS RICARDIANOS" no aparecen en los "CONJUNTOS DE NÚMEROS" de sus respectivas expresiones aritméticas, mientras que los demás "NÚMEROS RICARDIANOS" sí aparecen en los "CONJUNTOS DE NÚMEROS" de sus respectivas expresiones aritméticas.
Pues bien, dado todo esto, construyamos la siguiente expresión aritmética: "el conjunto de todos los "NÚMEROS RICARDIANOS" que "NO APAREZCAN EN LOS "CONJUNTOS DE NÚMEROS" DE SUS EXPRESIONES ARITMÉTICAS RESPECTIVAS"".
Esta expresión aritmética es una expresión aritmética válida, pues describe bien a un "CONJUNTO DE NÚMEROS", que será su "CONJUNTO DE NÚMEROS", a saber: el conjunto de todos los "NÚMEROS RICARDIANOS" que son tales, que "NO APARECEN EN LOS "CONJUNTOS DE NÚMEROS" DE SUS EXPRESIONES ARITMÉTICAS RESPECTIVAS".
Pero el problema viene aquí, cuando ahora nos preguntamos: entonces, ¿Cuál es el "NÚMERO RICARDIANO" de esta expresión aritmética válida? ¿en qué posición de la lista de expresiones aritméticas válidas, caerá esta expresión aritmética válida? La respuesta es que en ninguna. ¿Por qué?
Si esta nueva expresión aritmética válida estuviera en algún lugar de la lista, entonces tendría algún "NÚMERO RICARDIANO", y si tiene algún "NÚMERO RICARDIANO", entonces debe pasar alguna de estas dos cosas: 1º) O bien este "NÚMERO RICARDIANO" "TAMBIÉN APARECE EN EL "CONJUNTO DE NÚMEROS" DE ESTA NUEVA EXPRESIÓN ARITMÉTICA VÁLIDA"; 2º) O bien, por el contrario, este "NÚMERO RICARDIANO" "NO APARECE EN EL "CONJUNTO DE NÚMEROS" DE ESTA NUEVA EXPRESIÓN ARITMÉTICA VÁLIDA". Consideremos cada uno de los dos casos.
Si este nuevo "NÚMERO RICARDIANO" sí "APARECE TAMBIÉN EN EL "CONJUNTO DE NÚMEROS" DE LA NUEVA EXPRESIÓN ARITMÉTICA", entonces, por la propia definición de la nueva expresión aritmética, no debería pertenecer (ni aparecer) en este mismo "CONJUNTO DE NÚMEROS" de esta nueva expresión. Por lo que hay una contradicción.
Pero si este nuevo "NÚMERO RICARDIANO" "NO APARECE EN EL "CONJUNTO DE NÚMEROS" DE LA NUEVA EXPRESIÓN ARITMÉTICA", entonces, por la definición de esta expresión, sí debería aparecer, pero esto causaría contradicción.
Perdón por todas las posibles faltas y errores.