- Si tomamos diez números consecutivos cualesquiera de la sucesión y los sumamos, el resultado obtenido siempre es un múltiplo de 11.
Se prueba por inducción. Para n1=1 la suma es 11·13 y para n1=1 (el segundo) es 11·21. Para el resto: si se cumple con la suma de ciertos 10 números, del 1 al 10, que se cumpla para la suma del 2 al 11 es lo mismo que decir que n11 - n1 sea múltiplo de 11.
- esa suma es exactamente 11 veces el término que ocupar la séptima posición del subconjunto elegido. Ídem: partiendo de la demostración anterior, hay que ver que 11·(5n2 + 3n1) + 11n7 = 11n8, o lo que es lo mismo:
- la suma de un numero k cualquiera de términos de la sucesión desde el primero es igual al término que ocupa la posición k+2 tras restarle una unidad. La suma de los elementos del 1 al 11 es 232 = 233 - 1. Para el resto, si la suma hasta n_k = n_(k+2) -1, la suma hasta n_(k+1), es decir, n_(k+2) - 1 + n_(k+1) = n_(k+3) - 1.
- La sucesión de Fibonacci también se relaciona con el teorema matemático más famoso de la humanidad, el teorema de Pitágoras. Los números 1, 2, 3 y 5 dan la terna 5, 12 y 13, y 25 + 144 = 169 (una terna Pitagórica son 3 números que, si los pones como lados de un triángulo, forman uno rectángulo). Este no es por inducción:
(n1·n4)^2 = 4n1^2·n2^2 + n1^4 + 4·n1^3·n2
(2·n2·n3)^2 = 4(n1^2·n2^2 + n2^4 + 2·n1·n2^3)
(n2^2 + n3^2)^2 = (n1^2 + 2n2^2 + 2·n1·n2)^2 = n1^4 + 4·n2^4 + 8·n1^2·n2^2 + 4·n1^3·n2 + 8·n1·n2^3
y si sumas los 2 primeros, da el 3º.
- Si escogemos tres términos consecutivos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci, al comparar la multiplicación de los dos extremos con el cuadrado obtenido del término central descubrimos que la diferencia es de una unidad, bien por arriba, bien por abajo. Es un poco más sutil: descomponemos la sucesión en dos subsucesiones, la de los que están en posiciones impares I= y la de las posiciones pares P=. Demostraremos que si n1 y n3 están en I, si n1·n3 = n2^2 - 1, entonces n3·n5=n4^2 - 1:
n3·n5 = 2n3^2 + n3·n2
n4^2 = n3^2 + n2^2 + 2n3·n2
y tendríamos 2n3^2 + n3·n2 = n3^2 + n2^2 + 2n3·n2 - 1 -> n3^2 - n3·n2 = n2^2 - 1 ->
n3·(n3 - n2) = n2^2 - 1 -> n3·n1 = n2^2 - 1. Demostrado.
Sería análogo para P y con el +1.
Comentarios
Para que luego digan....con lo que molan las matematicas¡¡
La inducción, qué herramienta más potente para las demostraciones de números naturales:
http://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
- Si tomamos diez números consecutivos cualesquiera de la sucesión y los sumamos, el resultado obtenido siempre es un múltiplo de 11.
Se prueba por inducción. Para n1=1 la suma es 11·13 y para n1=1 (el segundo) es 11·21. Para el resto: si se cumple con la suma de ciertos 10 números, del 1 al 10, que se cumpla para la suma del 2 al 11 es lo mismo que decir que n11 - n1 sea múltiplo de 11.
n11 = n10 + n9 = 2n9 + n8 = 3n8 + 2n7 = 5n7 + 3n6 = ... = 55n2 + 34n1
n11 - n1 = 55n2 + (34-1)n1 = 11·(5n2 + 3n1).
- esa suma es exactamente 11 veces el término que ocupar la séptima posición del subconjunto elegido. Ídem: partiendo de la demostración anterior, hay que ver que 11·(5n2 + 3n1) + 11n7 = 11n8, o lo que es lo mismo:
5n2 + 3n1 + n7 = 3n3 + 2n2 + n7 = 2n4 + n3 + n7 = n5 + n4 + n7 = n6 + n7 = n8.
- la suma de un numero k cualquiera de términos de la sucesión desde el primero es igual al término que ocupa la posición k+2 tras restarle una unidad. La suma de los elementos del 1 al 11 es 232 = 233 - 1. Para el resto, si la suma hasta n_k = n_(k+2) -1, la suma hasta n_(k+1), es decir, n_(k+2) - 1 + n_(k+1) = n_(k+3) - 1.
- La sucesión de Fibonacci también se relaciona con el teorema matemático más famoso de la humanidad, el teorema de Pitágoras. Los números 1, 2, 3 y 5 dan la terna 5, 12 y 13, y 25 + 144 = 169 (una terna Pitagórica son 3 números que, si los pones como lados de un triángulo, forman uno rectángulo). Este no es por inducción:
(n1·n4)^2 = 4n1^2·n2^2 + n1^4 + 4·n1^3·n2
(2·n2·n3)^2 = 4(n1^2·n2^2 + n2^4 + 2·n1·n2^3)
(n2^2 + n3^2)^2 = (n1^2 + 2n2^2 + 2·n1·n2)^2 = n1^4 + 4·n2^4 + 8·n1^2·n2^2 + 4·n1^3·n2 + 8·n1·n2^3
y si sumas los 2 primeros, da el 3º.
- Si escogemos tres términos consecutivos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci, al comparar la multiplicación de los dos extremos con el cuadrado obtenido del término central descubrimos que la diferencia es de una unidad, bien por arriba, bien por abajo. Es un poco más sutil: descomponemos la sucesión en dos subsucesiones, la de los que están en posiciones impares I= y la de las posiciones pares P=. Demostraremos que si n1 y n3 están en I, si n1·n3 = n2^2 - 1, entonces n3·n5=n4^2 - 1:
n3·n5 = 2n3^2 + n3·n2
n4^2 = n3^2 + n2^2 + 2n3·n2
y tendríamos 2n3^2 + n3·n2 = n3^2 + n2^2 + 2n3·n2 - 1 -> n3^2 - n3·n2 = n2^2 - 1 ->
n3·(n3 - n2) = n2^2 - 1 -> n3·n1 = n2^2 - 1. Demostrado.
Sería análogo para P y con el +1.
Me aburría.
#0 Te aconsejo que pongas una entradilla que describa el artículo, y no tu opinión sobre él.
EDITO: Y que quites el nombre del blog del titular, eso es irrelevante (además de que se puede ver en la URL y accediendo al enlace)