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#6:
Creo que ha conseguido la triangulación del círculo
#10:
Muy buena, pero me gusta más una que aparece en un comentario del blog.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/07/TriangleFromCircle.gif
En otro comentario hay un enlace a una animación de la imagen.
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/DemVisualAreaCirc.html
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/07/TriangleFromCircle.gif
En otro comentario hay un enlace a una animación de la imagen.
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/DemVisualAreaCirc.html
Comentarios
Interesante aportación, #8.
Yo añadiría que
#9 Discrepo.
PD: Genial aportación #12
#9 Yo creo que #8 se quedó como muchos... Sin palabras
#8 muy ilustrativo, justamente lo que pensé al ver la demostración
#8 ¡Bien dicho!
No os metáis con #8 , ignorantes. Está demostrando sin palabras la existencia o no-existencia de Dios.
#8
La idea intrínseca expuesta es brillante, las posibles opciones en el desarrollo del tema son infinitas, la claridad del argumento es mayúscula, pocas veces he tenido ocasión de leer un tema tan ameno, con la longitud justa, con la métrica adecuada, sin florituras.
Ya lo dijo Quevedo:
Lo bueno si breve dos veces bueno
#43 No lo dijo Quevedo, lo dijo Baltasar Gracián
#48 Lo cierto es que todo eso que he escrito es una "frase hecha" de internete, incluido lo de Quevedo, que por otra parte no sabía que fuera de Baltasar Gracián, así que gracias por el apunte.
#8.
Creo que ha conseguido la triangulación del círculo
#6 Pena que no lo haya construido sólo con compás y regla sin marcar
#5 yo lo que entiendo es que triangula el círculo (como bien dice #6)
Por lo tanto, se aplica la fórmula para el cálculo de áreas de triángulos:
A= 1/2*b*h siendo b la base y h la altura
b= 2*pi*r
h= r
A= 1/2 (2*pi*r)*r = pi*r2
#6 #11 ¿triangulación del círculo? eso ya esta conseguido de idéntica manera
#12 Tu presentació la veo mucho más clara
#12 GOTO #10
#12 Me ha recordado el pseudo-chiste de la vaca esférica de radio r
#6 La triangulación de cualquier figura geométrica es trivial, por eso no es un problema relevante digno de estudiar en ningún sitio.
Por el contrario, la cuadratura, en especial la del círculo, es un problema típico de las asignaturas de dibujo técnico.
Es una demostración tan bella como sencilla, pero sirve perfectamente para distinguir a un palurdo de alguien que tiene dos dedos de frente.
Muy buena, pero me gusta más una que aparece en un comentario del blog.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/07/TriangleFromCircle.gif
En otro comentario hay un enlace a una animación de la imagen.
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/DemVisualAreaCirc.html
Esta tambien está muy bién:
Via @1004434
#14 acabo de entender el significado real de 'pi' con tu imagen después de haberlo aplicado miles y miles de veces en formulas... gracias!
Sencíllamente magistral. Nunca había visto esto, pero seguramente haya otras tantas para otras fórmulas que parecen tan complejas y que, vistas así sean tan sencillas... Nos queda mucho por aprender. Muchas gracias!
No entiendo por qué coño no se enseñan estas cosas en las escuelas. Si con 25 años me he quedado espatarrao, imaginad esto en primaria. No solo es aprender la puta fórmula y ya está, es aprender el por qué y el cómo.
#18 a que tu lo has entendido?
#26 y #18 dependerá del profesor, a mi todos los profesores de matemáticas me explicaban gráficamente las demostraciones de las fórmulas para que no fuese simplemente "aprender como loritos" que era lo que nos decían cuando protestabamos porque entraban en examen las demostraciones.
Estas cosas, justo a la hora de comer......
Creo que es algo que falla en el aprendizaje de la ciencia y la matematica, que te enseñen que las cosas no son así porque si, que hay una explicación detrás.
Preciosa demostración. De las más bonitas que he visto en bastante tiempo.
Para los muy puristas, lo que demuestra es la relación entre el radio, la longitud (= el perímetro) de la circunferencia y el área del círculo encerrado. A = 1/2 * radio * perímetro (donde * denota el producto).
Teniendo en cuenta que el perímetro es 2*pi*radio, se deduce la fórmula del área. Si hubiera partido (como estoy yo acostumbrado... "definimos pi como el área del círculo unidad") de que el área es pi*radio^2, habría deducido que la longitud es 2*pi*radio.
#5 Gracias por la explicación (y al resto, que hay varias).
Me estaba volviendo loco con las rayitas que pintan por dentro, eso indica algo a parte de liar? no se vería mucho mejor si simplemente lo dejaran vacio y con bordes? Algo parecido a un Pacman que progresivamente abre la boca
#42 completamente de acuerdo, creo que muchos de los que dicen que es obvio no han caído en la cuenta de que podría ser que los lados del triángulo fueran curvas y que el que es realmente un triángulo requiere el argumento de linealidad en el radio.
Una demostración chulísima.
Dejadme en paz, que me voy a la siesta, coño..
#2 Por eso la demostración sin palabras, para no hacer ruido.
#3 épico comentario.
En realidad hay una cosa que no demuestra sino que la tienes que pensar "aparte": ¿por qué al deformar así las circunferencias lo que sale es un triángulo? No me parece nada obvio.
#31, no sé si hay alguna demostración sin recurrir al cálculo integral.
Voy a intentar dar una idea intuitiva de cómo se puede ver el "movimiento" del círculo en un triángulo.
Llamaré O al centro de la circunferencia, y R al radio de la misma.
Imagínate dos puntos móviles. Uno recorre un radio de la circunferencia (segmento que une el centro O con un punto de la circunferencia) desde el centro de la circunferencia hasta el extremo, y el segundo punto móvil recorre un segmento vertical, de arriba abajo, ambos a la misma velocidad.
Por cada posición intermedia que recorre el primer punto móvil tomas la circunferencia de centro O y radio la distancia r del punto a O, la rectificas y pones el segmento resultante en horizontal centrado en el segundo punto móvil.
Al final del proceso, has "transportado" todo el círculo (circunferencia a circunferencia, empezando por circunferencias pequeñas y terminando por la circunferencia más exterior, o si quieres "capa a capa") en un triángulo de altura el radio R y base la longitud de la circunferencia.
Por eso las áreas deben ser las mismas, y el área del triángulo es 1/2 * base * altura = 1/2 * (2*pi*R) * R = pi*R^2.
#34 la hay (utilizando igual que aquí que la longitud de la circunferencia es 2Pir).
Es muy fácil demostrar que si tenemos un polígono inscrito en una circunferencia su área es radio del círculo por perímetro partido de 2 (para ello basta con unir los vértices del polígono al centro, el área de cada triángulo es un lado del polígono por radio entre 2, sumamos y la suma de los ldos nos da el perímetro), vamos, la famosa fórmula del área de un polígono regular igual a perímetro por apotema entre 2.
Una vez esto queda claro cogemos el círulo. Inscribimos un triángulo y calculamos su área, luego lo mismo con un cuadrado, un pentágono y seguimos así con todos. O mejor, el triangulo, añadiendo 3 vértices el hexágono, añadiedo 6 el dodecágono, añadimos 12... como prefiráis, la segunda forma es para no mover los vértices y solo añadir. Claramente el área de todas esas figuras tiende al área del círculo puesto que lo va cubriendo (formalmente este claramente se debería de explicar mejor). Por otro lado estas áreas con radio por perímetro entre 2. Pero como los lados se van acercando a la circuferencia, claramente el perimetro tiende a la longitud de esta, es decir 2Pi r (este claramente formalmente habría que ponerlo mejor), así que estas áreas tienden a r x 2 Pi r / 2 = Pi r ^2. Y con esto estaría probado.
Eso sí, los límites (como en el cálculo integral) no los he podido evitar.
#31 Bueno, la longitud de la circunferencia es lineal con el radio. A incrementos constantes de radio, tendremos incrementos constantes de perímetro y saldrá un triángulo.
#36, #37, sí, si eso es lo que he pensado, pero eso no se ve en la animación ni es obvio para un no iniciado. Si lo haces por ejemplo con una elipse, visualmente puede parecer que puedes hacer lo mismo, pero nada más lejos de la realidad.
#31 en realidad si la demuestra, hay que tener en cuenta que la demostración ya parte de que sabes que la longitud de la circunferencia es 2*pi*r,
la dependencia de la longitud es por tanto lineal (por ejemplo a radio la mitad implica longitud la mitad)
el triangulo que se forma si es totalmente lógico. Lo que pasa que al ser sin palabras se omite desde donde se empieza y una explicacion intermedia de lo que esta sucediendo. Y como dices sin palabras deja de ser obvio.
#31 En el enlace que pongo después se aprecia como va rectificando los círculos concéntricos interiores en segmentos.
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/DemVisualAreaCirc.html
Yo veo 4 imágenes.
Pego lo que he comentado en el blog
No termino de aclararme sobre si me gusta la demostración o no, es correcta, pero hay un pero que le tengo que poner y es que se me ocurren demostraciones similares que serían erróneas y es difícil explicar porque esa es errónea y esta válida. Por ejermplo podemos considerar un rectángulo. En uno de los lados cortos añadimos medio círculo de diámetro el lado y por el otro lado corto, en vez de añadirlo lo restamos quedando una figura de mismo área (axb si a es el lado corto y b el lado largo). Ahora bien, podemos rellenar el rectángulo por semicircunferencias "paralelas" a las que hay en los extremos. Ahora cogemos cada semicircunferencia y fijamos el punto que cae a mitad de la altura del rectángulo (suponiendo que la base es el lado largo) y la estiramos, formano un rectángulo con un lado igual a b y el otro lado igual a pixa/2 y por tanto de área abxpi/2. Por tanto
ab=abxpi/2
lo que obviamente no puede ser. Obviamente lo que he hecho está mal, pero no soy capaz de explicar de forma sencilla por qué una prueba vale y la otra no. Espero que se haya entendido el ejemplo que he dado.
#53 Yo tampoco creo que la demostración del enlace sea del todo rigurosa, pero el problema de tu construcción creo que está en "podemos rellenar el rectángulo por semicircunferencias "paralelas" a las que hay en los extremos".
Tus semicircunferencias no son verdaderamente "paralelas" ya que cerca de los lados superior e inferior del rectangulo están mas cerca unas de otras que por la parte central del rectangulo. Es decir, la distancia sí es la misma en la dirección paralela al eje del rectángulo, pero no en la dirección perpendicular al semicirculo; no sé si me explico. Eso hace que al "enderezar" las semicircunferencias (o sea, poniendolas paralelas) las estés separando ligeramente en la parte de esos extremos y por tanto añadiendo área.
En la demostración del enlace eso no sucede, ya que las circunferencias ahí sí que son verdaderamente paralelas, es decir, concéntricas.
#55 en el enlace también separas. Piensa en cuanto valían originalmente los lados del triángulo.
#59 Creo que no, las líneas están a la misma distancia entre ellas, lo que pasa es que la línea que originalmente es el radio de la circunferencia y se convierte en un lado del triángulo pasa de ser perpendicular a ser oblícua a las líneas, pero lo importante es la separación (perpendicular) de las líneas entre ellas, que es donde está el área que queremos mantener constante.
Ojo que no digo que todo esto haga más válida (en el sentido de rigurosa e irrefutable) la demostración original, sólo ofrezco una explicación del por qué una transformación conserva el área y la otra no.
#53 Es evidente que Pi=2, así todo cuadra
La ilustración es estupenda, en el sentido de que da una idea intuitiva de por qué la solución tiene que ser la que es, y debería utilizarse en la enseñanza antes de dar la demostración rigurosa. No obstante, yo no diría que es irrefutable, como se dice en la entradilla. Muchas veces la intuición es engañosa en matemáticas, especialmente cuando se trabaja con cuestiones relacionadas con el infinito, por ejemplo que la suma de una serie infinita pueda ser un número finito, o que después de quitar un número infinito de puntos de un segmento todavía queden infinitos puntos en él (y en este caso lo que se está haciendo es dar un salto de un número finito a un número infinito de líneas para crear una superficie).
#51 Muchas veces la intuición es engañosa en matemáticas, especialmente cuando se trabaja con cuestiones relacionadas con el infinito
Como apunte para ilustrar esta apreciación, véase la paradoja de Banach-Tarski.
http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Banach_Tarski
"En palabras más sencillas, se supone que es posible fabricar un rompecabezas tridimensional de un total de ocho piezas, las cuales, combinadas de una determinada manera, formarían una esfera completa y rellena (sin agujeros) y, combinadas de otra manera, formarían dos esferas rellenas (sin agujeros) del mismo radio que la primera."
#52 Muy interesante, no la conocía.
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Can't do this, newfags
Ya puedo dormir tranquilo despues de esta demostración. Lastima no haberla tenido hace años.
Tu ponle eso a un crío y verás lo bien que se entera sí. Curioso
¿ein?
#29 Recuerda que el área de un triángulo es base por altura partido por 2 ('b*h/2'). Y en esa secuencia de imágenes 'transforma' un círculo de perímetro (como todos) '2*pi*r' en un triángulo de base '2*pi*r' y de altura 'r' (el radio del círculo).
Por lo que (2*pi*r)de base(b) multiplicado por su altura (h)'r', partido por 2 (es un triángulo) nos da: 2*pi*r*r/2 , que simplificado tenemos la clásica fórmula del área del círculo pi*r²
cc #13
Un saludo
Entonces la formula del circulo es base por altura partido por dos ¿no?
#41 si, y la del pentagono base por altura partido por avión
Esto debería enseñarse en las escuelas.
Ahooora lo entiendo.
...
Teoría de como se pudo descubrir área del círculo: PI*R^2?
A partir del min. 4.35
Recomiendo buscar y ver el documental entero.
esta es parecida pero con triangulo recto http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/07/TriangleFromCircle.gif
Pues yo me he quedado igual