Una demostración geométrica de la irracionalidad de raíz de 2

Que raíz de 2 es un número irracional es de sobra conocido por todos. Existen muchas demostraciones de este resultado. Hay una muy conocida que utiliza reducción al absurdo y que es muy sencilla de comprender, y otra, quizás menos conocida, que utiliza descenso infinito. Estas dos demostraciones son algebraicas: en ellas se utilizan propiedades de los conjuntos numéricos, números primos, factorización, divisibilidad… Lo que os traigo hoy es una demostración geométrica de la irracionalidad de raíz de 2.

[#5 Mr_tstcl]

Yo cambiaba el nombre del triángulo .. porque si existe algo irracional es ABC

[#16 frankiegth]

Para #14. ...En fin, una utopía de la enseñanza que será difícil de implantar (de momento)...

En Noruega es asi. No entiendo porque no se copian y pegan metodologias que funcionan en educación entre paises. Te sorprenderias lo buenos y claros que son los libros de matemáticas noruegos para la educación secundaria, son realmente autodidácticos y focalizan muchísimo más en la buena comprensión de los conceptos con buenos ejemplos que en la cantidad de ellos. Si te enseño el indice de contenidos de los libros de la EGB que aún conservo te parecera un listin telefónico. El indice de cada uno de los libros noruegos de matemáticas de secundaria cabe en una hoja o dos. Este último es un buen ejemplo de la desproporcionada siempre memorización vs. comprensión en España, memorización en este caso por la cantidad de conceptos a aprender de memoria, cuando lo verdaderamente importante es utilizar los necesarios para resolver cada tipo de problemas.

[#18 sangaroth]

#14,#16
Durante muchisimos años,hasta hace poco segun creo, la enseñanza se baso en en siguiente libro:

http://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_de_Euclides
Los Elementos (en griego: Στοιχεῖα) es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece libros, escrito por el matemático griego Euclides cerca del 300 a. C. en Alejandría.

Un amigo matematico estaba fascinado por la historia de las matematicas y como resolvian geomatricamente ecuaciones (sumando planos,restando rectas y puntos !)
Siempre me quede con la curiosidad, aver si algun me animo a mirarme el tema.

[#11 Desactivado]

LA verdad es que hay veces que las matemáticas son más fáciles de comprender geométricamente. Yo me quedé fascinado de ello cuando descubrí como realizaban las operaciones matemáticas los sumerios. En lugar de emplear ecuaciones como nosotros, calculaban todo geométricamente y me di cuenta que era mucho más fácil de comprender de ese modo que incluso con los métodos actuales. Yo creo que en la escuela se adelantaría mucho si además de explicar las cosas con ecuaciones y abastracciones, se empleara la geometría (de forma más visual) para enseñar matemáticas.

[#12 frankiegth]

Para #11. Totalmente de acuerdo. Un buen ejemplo es la derivación, que si se explica desde el punto de vista geométrico es mucho más sencilla de entender que solo utilizando algebra. Visualizar las ideas nos proporciona un buen punto de vista y una mayor seguridad sobre el tema que estamos tratando.

[#14 Desactivado]

#12 Recuerdo la primera vez que me explicaron una integral, que me quedé como Matias Prats (Pero esto que es). Pues venga, aprendía a calcularlas, a aprobar los exámenes,... Pero llegó un día que cuando vi en un libro que la integral era simplemente una suma de trozos de área y que se trataba en definitiva de calcular el área total limitada por una función, entonces comprendí mejor para que servían. No decir nada de las integrales triples y cálculo de volúmenes. Entiendo que la álgebra sirve mejor para realizar los cálculos, sobre todos los más complejos, pero pienso que la visualización y la comprensión inicial de lo que estamos haciendo y para qué sirve una cosa, ayuda a aprender. En fin, una utopía de la enseñanza que será difícil de implantar (de momento).

[#3 OrionBetelgeuse]

Es una demostración muy bella. No la conocía.
Recuerdo que la primera demostración de la irracionalidad de raíz de 2 la leí en un apéndice de "Cosmos", el libro que se publicó a raiz de la serie de Carl Sagan. Es una reducción al absurdo que ocupa menos de una página y resulta muy clara su exposición, ideal para los que quieran conocer este método tan elegante.

[#4 gaussianos]

#1 Pero muchos muchos...muchísimos...de hecho más que irracionales, muchísimos más.

#2 Y muchos trascendentes diría yo :).

#3 Posiblemente sea una de las que aparecen en un post anterior mío cuyo enlace aparece en éste. Es el siguiente:

http://gaussianos.com/dos-demostraciones-de-la-irracionalidad-de-raiz-de-2/

[#1 Desactivado]

Irracionales hay muchos, no sólo la raíz de 2

[#2 Desactivado]

#1 Y algunos incluso son trascendentes, fíjate

[#7 SpaceMonkey]

#1 lo dices por i y E?

[#13 pawer13]

#7 No sé si es una errata y querías decir Pi, pero i no es irracional, es imaginario.

[#15 sabbut]

#8 Es una simple demostración por reducción al absurdo. ( http://es.wikipedia.org/wiki/Reductio_ad_absurdum )

Parte de que sí existen triángulos isósceles con todos sus lados enteros. Esto equivale a decir que raíz(2) es racional: si cada cateto mide n (entero), la hipotenusa mide n*raíz(2), que por la hipótesis también es entero.

Si existen tales triángulos, elige aquel que sea el mínimo tal que tanto catetos como hipotenusa son enteros. Ese triángulo mínimo tiene que existir: desde luego el cateto no puede medir menos de 1.

El problema es que luego demuestra que hay un triángulo isósceles cuyos lados son aún menores que el mínimo y siguen siendo enteros. Esto es absurdo. La conclusión es necesariamente que la hipótesis de la que se partió (que existen triángulos isósceles con todos sus lados enteros, lo que equivale a decir que raíz(2) es racional) es falsa. Luego raíz(2) no puede ser racional.

#7 Pi, e, la razón áurea, logaritmo de 3 en base 2, raíz cúbica de 2, raíz séptima de 13, etc. Hay muchísimos.

"Curiosamente", entre dos números racionales siempre puedes encontrar un irracional y entre dos irracionales siempre puedes encontrar un racional, pero hay infinitamente más números irracionales que racionales.

[#17 jmav]

Decir que en este ejemplo los CA y AB serían de longitud 1(la mínima) y el segmento CB (hipotenusa) sería igual a la Raíz(2).
Con lo cual la Raíz(2) no puede ser entero, pues de lo contrario cumpliría.

#15 Si nos abstenemos solo a la reducción al absurdo sin la base anterior, se puede concluir también en la otra dirección que es: Raíz(2) es racional, al ser considerada el segmento CB entero por la evidencia geométrica.

[#8 Endor_Fino]

Después de leerlo no he llegado a entender la conclusión final, que por existir un triángulo mínimo no pueda ser y tal. Acepto que exista el triángulo isósceles mínimo, pero no sé qué relación tiene con el triángulo descrito al final.

[#9 wardent]

#8 Pues que si es el triángulo mínimo no puede existir un triángulo menor que cumpla las mismas condiciones, el triángulo final es más pequeño y las cumple, por tanto no puede ser cierta la premisa de que existe un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados sean todos números enteros. La razón es que en la fórmula que exponen debajo de la primera figura explica que para dicho triángulo exista, raíz de 2 tendría que ser un entero positivo y si se considera así se llega a una contradicción.

[#6 sangaroth]

Recuerdo haber sufrido demostraciones de reduccion al absurdo, hubo una de un tal 'Cantor' que me dejo fascinado. Años despues en 'La Nueva Mente del Emperador' creo recordar que demostraba la imposibilidad de completitud algoritmica en una maquina de Turing Universal(o algo asi ).
Si bien mis matematicas son muy justitas, este metodo es realmente potentisimo y dislumbras la genialidad de muchas demostraciones (aunque conste en acta que sigo odiando las matematicas, no se diga)

[#10 bymybaby]

joder, y esta es la demostración fácil de entender!. Tendré que repasar mis apuntes apergaminados de matemáticas y volverlo a leer.