Sobre el interesante juego matemático que nos plantea Alicia con la tabla de multiplicar del cuatro

El gran divulgador de las matemáticas estadounidense Martin Gardner (1914-2010), autor de la famosa columna de Juegos Matemáticos de la revista Scientific American, publicó en 1960 el libro Alicia anotada, que es una edición comentada de los dos cuentos de Lewis Carroll protagonizados por Alicia, Las aventuras de Alicia en el País de las Maravillas y Alicia a través del espejo. En esta publicación Gardner explica el párrafo de la tabla de multiplicar del cuatro en Alicia en el País de las Maravillas de la siguiente forma:

[#1 Pepepaco]

Muy interesante el artículo (y la explicación) que nos recuerda que, por más que lo habitual sea utilizar la base decimal, hay todo un mundo de posibilidades de usar diferentes bases en función del propósito que tengamos.

[#2 Nylo]

Me ha encantado la parte de las bases de numeración negativas, nunca había leído sobre ellas. Entiendo que son interesantes intelectualmente aunque no les veo utilidad práctica al ser contraintuitivas. En cuanto a la explicación de por qué no llegará al 20 si recurrimos sólo a las bases positivas tradicionales, tanta explicación matemática con fórmulas era innecesaria. Una vez establecido que Alicia está cambiando de base, añadiendo tres en cada paso, es obvio que si el segundo dígito del producto aumenta de uno en uno pero los símbolos disponibles para expresarlo aumentan de 3 en 3, siempre habrá símbolos disponibles para expresar el aumento del segundo dígito sin tener que aumentar el primero.

[#3 solojavi]

Puedo confundirme pero creo que el 52 decimal es 20 en la base 26.

[#4 baraja]

#3 el 52 se expresaría en base 42 y entonces sería 1A

4 x D (= 52 = 1 x 42 + 10) = 1A₄₂ (base 42)

[#8 solojavi]

#4 #5 A partir del planteamiento del problema no se explicita que deba ir de 3 en tres, o al menos así lo entiendo yo.

[#9 Nylo]

#8 Que vaya de 3 en 3 siendo la tabla la del 4 es la única manera de que el producto "parezca" aumentar de 1 en 1 si erróneamente lees el resultado de la multiplicación como si se estuviese escribiendo en base 10.

En cualquier caso he de decir que el "acertijo" del cuento está mal planteado. Alicia podría decir "4x5=12 y sería correcto, pero si dice que cuatro por cinco son doce, con letras, es incorrecto. Ese 12 debe leerse veinte al estar escrito en base 18. Del mismo modo que 100 en binario se lee cuatro, no cien. Es el número cuatro aunque para expresarlo emplees dígitos diferentes.

[#5 Nylo]

#3 Sí, pero la base 26 no será empleada, todas las que usa son múltiplos crecientes de 3

[#6 BiRDo]

No recordaba el tema de las bases negativas. Interesantísimo.

[#7 Nylo]

Hay que decir que esto no es una particularidad de la tabla de multiplicar del 4. Alicia podría haber propuesto el mismo juego con la del 3, la del 5...
Con la el 3: "A ver, 3x4 son 10, 3x5 son 11, 3x6 son 12, 3x7 son 13... ¡nunca llegaré al 20!" (esto sería empleano bases crecientes de 2 en 2: 12, 14, 16 y 18 en las multiplicaciones explictadas.
Con el 5: "A ver, 5x3 son 13, 5x4 son 14, 5x5 son 15..." (bases crecientes de 4 en 4, usando 12, 16, 20 en las…   

[#10 Y_digo_yo]

Maravilloso artículo.