¿qui dicen ahora los que decian que estaba mal?... libro Matemáticas estas ahi?... pagina 29 Autor Adrian Paenza(comentado entre otros lugares hoy en CPI)
1 = 2
Supongamos que uno tiene dos números cualesquiera: a y b.
Supongamos, además, que
a = b
Síganme con este razonamiento. Si multiplico a ambos miembros
por a, se tiene
a2 = ab
Sumemos ahora (a2 – 2ab) en ambos miembros.
Resulta entonces la siguiente igualdad
a2 + (a2 - 2ab) = ab + (a2 - 2ab)
O sea, agrupando:
2a2 – 2ab = a2 – ab
Sacando factor común en cada miembro,
2a (a-b) = a (a-b)
Luego, simplificando en ambos lados por (a-b) se tiene:
2a = a.
Ahora, simplificamos la a de ambos lados, y se tiene:
2 = 1
¿Dónde está el error? Es que tiene que haber alguno, ¿no?
Quizá ustedes ya se dieron cuenta. Quizá todavía no. Les sugiero
que lean detenidamente cada paso y traten de descubrir solos
dónde está el error.
El razonamiento es perfecto hasta un punto: cuando en el texto
dice:
Sacando factor común en cada miembro,
2a (a-b) = a (a-b)
Luego, simplificando en ambos lados por (a-b), se tiene:
2a = a.
Y aquí me quiero detener: ¿se puede simplificar? Es decir, analicemos
lo que quiere decir “simplificar” y si se puede siempre
simplificar.
Por ejemplo:
Si uno tiene 10 = 4 + 6
2 . 5 = 2 . 2 + 2 . 3
2 . 5 = 2 (2 + 3) (*)
en este caso, aparece el número 2 en los dos términos y uno,
si simplifica (es decir, como el número 2 aparece como factor en
ambos lados, uno se “deshace” de él) y resulta:
5 = (2+3) . (**)
Como se ve, en este caso, la igualdad que había en (*), sigue
valiendo en (**)
En general, si uno tiene
a . b = a . c,
¿se puede siempre simplificar? O sea, ¿se puede siempre eliminar
el factor a que aparece en ambos miembros? Si uno simplifica,
¿siempre vale la igualdad b = c?
Fíjense en el siguiente caso:
0 = 2 . 0 = 3 . 0 = 0 (*)
Es decir, como uno sabe que 0 = 0, y tanto 2.0 como 3.0 son
cero, se deduce la igualdad (*).
Luego, de la igualdad
2 . 0 = 3 . 0
uno podría hacer lo mismo que hizo en el caso del número 2
un poco más arriba. Ahora, lo que debería valer, es que si uno “elimina”
el número 0 de cada miembro (ya que en ambos está como
factor), se tendría:
2 = 3
que claramente es falso. El problema, entonces, es que para
que uno pueda “eliminar” o “simplificar”, el factor del que se va
a deshacer tiene que ser diferente de 0. O sea, una vez más, aparece
la imposibilidad de dividir por cero.
Lo que seguía de la deducción de que 1 = 2, ahora resulta irrelevante,
porque el problema se plantea cuando uno quiere dividir
por (a-b), que es cero, porque al principio de todo, escribimos
que a = b, y por lo tanto,
a - b = 0
Comentarios
Divides entre (a-b). Como a=b divides entre 0, lo cual no es muy inteligente
Viejuno y SPAM.
A preescolar!!!!!!!!!!!
a=b....(a-b)=0
xxx(a-b)=yyy(a-b)=0 ya tienes tu igualdad.
¿qui dicen ahora los que decian que estaba mal?... libro Matemáticas estas ahi?... pagina 29 Autor Adrian Paenza(comentado entre otros lugares hoy en CPI)
PD: el libro se puede descargar gratis para uso personal desde la web del autor.
http://cms.dm.uba.ar/cep/libro-e2.html
solo preescolar?
SPAM
1 = 2
Supongamos que uno tiene dos números cualesquiera: a y b.
Supongamos, además, que
a = b
Síganme con este razonamiento. Si multiplico a ambos miembros
por a, se tiene
a2 = ab
Sumemos ahora (a2 – 2ab) en ambos miembros.
Resulta entonces la siguiente igualdad
a2 + (a2 - 2ab) = ab + (a2 - 2ab)
O sea, agrupando:
2a2 – 2ab = a2 – ab
Sacando factor común en cada miembro,
2a (a-b) = a (a-b)
Luego, simplificando en ambos lados por (a-b) se tiene:
2a = a.
Ahora, simplificamos la a de ambos lados, y se tiene:
2 = 1
¿Dónde está el error? Es que tiene que haber alguno, ¿no?
Quizá ustedes ya se dieron cuenta. Quizá todavía no. Les sugiero
que lean detenidamente cada paso y traten de descubrir solos
dónde está el error.
El razonamiento es perfecto hasta un punto: cuando en el texto
dice:
Sacando factor común en cada miembro,
2a (a-b) = a (a-b)
Luego, simplificando en ambos lados por (a-b), se tiene:
2a = a.
Y aquí me quiero detener: ¿se puede simplificar? Es decir, analicemos
lo que quiere decir “simplificar” y si se puede siempre
simplificar.
Por ejemplo:
Si uno tiene 10 = 4 + 6
2 . 5 = 2 . 2 + 2 . 3
2 . 5 = 2 (2 + 3) (*)
en este caso, aparece el número 2 en los dos términos y uno,
si simplifica (es decir, como el número 2 aparece como factor en
ambos lados, uno se “deshace” de él) y resulta:
5 = (2+3) . (**)
Como se ve, en este caso, la igualdad que había en (*), sigue
valiendo en (**)
En general, si uno tiene
a . b = a . c,
¿se puede siempre simplificar? O sea, ¿se puede siempre eliminar
el factor a que aparece en ambos miembros? Si uno simplifica,
¿siempre vale la igualdad b = c?
Fíjense en el siguiente caso:
0 = 2 . 0 = 3 . 0 = 0 (*)
Es decir, como uno sabe que 0 = 0, y tanto 2.0 como 3.0 son
cero, se deduce la igualdad (*).
Luego, de la igualdad
2 . 0 = 3 . 0
uno podría hacer lo mismo que hizo en el caso del número 2
un poco más arriba. Ahora, lo que debería valer, es que si uno “elimina”
el número 0 de cada miembro (ya que en ambos está como
factor), se tendría:
2 = 3
que claramente es falso. El problema, entonces, es que para
que uno pueda “eliminar” o “simplificar”, el factor del que se va
a deshacer tiene que ser diferente de 0. O sea, una vez más, aparece
la imposibilidad de dividir por cero.
Lo que seguía de la deducción de que 1 = 2, ahora resulta irrelevante,
porque el problema se plantea cuando uno quiere dividir
por (a-b), que es cero, porque al principio de todo, escribimos
que a = b, y por lo tanto,
a - b = 0