Considere la siguiente frase: "Esta afirmación es falsa". ¿Es cierta? Si lo es, eso haría que el enunciado fuera falso. Pero si es falsa, entonces el enunciado es verdadero. Esta frase crea una paradoja irresoluble; si no es verdadera y no es falsa, ¿qué es? Esta pregunta llevó a un lógico a un descubrimiento que cambiaría las matemáticas para siempre. Marcus du Sautoy profundiza en el Teorema de Incompletitud de Gödel.
Pues yo lo veo bastante fácil:
1) no intentes operar con infinitos.
2) la matemática se basa en la premisa de que entre un entero y el siguiente hay infinitos números. La mecánica cuántica nos ha demostrado que el universo no funciona así, por lo tanto debería revisarse esa afirmación.
3) cuando una cosa hace referencia a sí misma, terminas con algo indefinido.
#11 La lógica y las matemáticas son lenguaje sobre el que poder decir cosas sobre la realidad ciertas o falsas. Las leyes físicas teorías etc son cosas que se dicen sobre la realidad y se contrastan sobre esta, no pueden ser la certeza absoluta pero sí certezas mayores o menores. La verdad está en la lógica y las matemáticas en el lenguaje en sí. La incompletitud no es ninguna paradoja. Por ejemplo el juego del ajedrez tiene unas reglas de juego y a partir de ellas se descubren jugadas. No se pueden demostrar todas las jugadas sin unas reglas mínimas que definan el juego indemostrables en él. Tampoco se pueden ir metiendo reglas a medida de cada gusto de cada jugador sino unas reglas básicas a medida del juego que se quiere tener.
O sea han de haber unas reglas de partida no demostrables desde el mismo sistema y las menos posibles
Los axiomas fundamentales o principios generales de la lógica y las matemáticas por encima de definiciones y poner nombre a cosas sino principios en los que se sostiene toda la lógica y las matemáticas, y cumple todo teorema son los axiomas o principios de identidad y el de no contradicción que dicen que Si A entonces A , y el otro dice que No (A y no A) a la vez para la misma situación. Se podría haber elegido cualquiera otras reglas pero no sería lógica y matemáticas sino otro sistema formal que llamaríamos con otro nombre. Este lo hemos hecho así porque queremos tener identidades entre la realidad y lo dicho sobre esta y sin contradicciones o las mínimas posibles. Estos axiomas son la definición formal del concepto "verdad" y como es lo que queremos tener elegimos estos y no otros. Por ejemplo Gödel utilizó lógica modal para meter por encima el axioma de la existencia de Dios. Eso ya no es sistema formal sino afirmar lo que ha de ser o no real dentro del sistema formal y utilizar eso como demostración de Dios, o Picachu o lo que se desee. Y es excederse. han de ser estos dos y lo demás exigiendo que la realidad sea así o asá como axioma son peticiones de principio. El lenguaje y el sistema formal de lógica no es la realidad por ejemplo "Esta oración está en inglés cuando nadie la lee" Y se ha de separar una cosa de la otra. Cuando se mezclan y confunde son las paradojas. La realidad se comprueba mediante método científico y la verdad es inalcanzable pero nos podemos aproximar con más o menos certeza. Así la relatividad general no es la verdad sobre la gravedad pero es cierta y es más cierta que Newton que no es falsa pero no es totalmente cierta sino para ámbito restringido. Y así
Por otra parte podemos proponer proposiciones indecidibles que entre ellas se contradigan pero ninguna de ellas vaya en contra de la identidad y la no contradicción. Lo que se hace entonces es aplicar O(A o no A) (que es un teorema derivado de esos dos axiomas) y ponemos unas proposiciones indecidibles u otras y montamos edificios matemáticos con unas y otros con otras y ya está
Con la lógica y las matemáticas no buscas asimilarte a la realidad sino que sea un lenguaje muy pero muy potente y cuanto más potente mejor porque así será más posible expresar la realidad mientras esa sea computable o cognoscible (o sea que la realidad cumpla los dos axiomas de identidad y de no contradicción en sí es cuando esta es computable o puede ser conocida de alguna forma. Se puede comprobar si los cumple o no cuando una variable la que sea de un teorema que se sustituye por otro teorema al operar y se hacen operaciones de un teorema sobre otro, la sustituyes por la expresión de una cosa de la realidad y el teorema donde las puesto ese valor de la variable se sigue cumpliendo )
#18O sea han de haber unas reglas de partida no demostrables desde el mismo sistema y las menos posible
Estoy de acuerdo. Puede que no se pueda demostrar que son ciertas esas reglas, pero podría ser que sí fuera demostrable que son falsas. Si inventas un conjunto de reglas no demostrables que después te llevan a algo inconsistente o absurdo, tal vez deberías considerar eso como una prueba de que hay algún error en las reglas básicas.
A nosotros nos suena casi obvio que algo se pueda dividir en infinitas partes. Pero puede que sencillamente la realidad no sea así y una matemática basada en algo irreal podría llevarnos a conclusiones absurdas. La falta de consistencia en el nivel más básico con el tiempo iría aflorando en problemas más claros y fáciles de ver.
#20 NO. Léete más despacio mi texto. No se puede demostrar (desde el mismo sistema) que sean ni ciertas ni falsas. porque esas reglas son lo que determina dentro del sistema formal lo que es cierto o falso. Estarías utilizando un sistema formal para juzgar a otro. Lo que da el nombre de verdadero o falso a los teoremas es decir lo que define lo verdadero o falso son esos dos axiomas que indico. Ellos son la definición de verdad y que no se cumplan la definición de falsedad.
#21 Ok, a ver si partimos de otro lado. ¿Qué te parece si yo propongo como postulado que NO existen infinitos reales entre dos enteros?
¿Cuántos son entonces? Eso es variables según la escala que decidas tomar. Puedes tomar una escala infinitesimal, con lo cual la cantidad de reales tendería a infinito pero nunca llegaría.
#22 > los conceptos Verdadero o falso viene definido por esos dos axiomas que he indicado. Los axiomas no se pueden referir a sí mismos o es paradójico. Es un sistema formal para decir cosas sobre la realidad. De nuevo "esta oración está escrita en francés cuando nadie la lee". Siempre se refiere a otra cosa incluso a como operar otra cosa del mismo sistema formal pero no a sí mismo.. Que tu afirmación para ser verdadera o falsa depende de los dos axiomas indicados. Es decir son esos axiomas de identidad y de no contradicción más la definición de número real, de infinito y de entero lo que refute o confirme tu postulado...
Es decir este postulado tuyo está afirmado con el lenguaje del sistema formal el cual ya está construido y depende de esos axiomas que he dicho no a la inversa como has especulado
Es decir los axiomas de identidad y de no contradicción no pueden ser correctos o incorrectos por tu postulado sino que tu postulado será correcto o falso por ellos
#9 En la vida real, puedes tener infinitos gatos pero no puedes cortar un gato en infinitas partes. En la matemática sí se puede y no sólo se puede sino que los pedacitos del gato que cortaste son más que todos los infinitos gatos del universo. Eso me hace pensar que algo no huele muy bien en la matemática.
Si la matemática no representa la realidad... es razonable que se lleguen a paradojas e inconsistencais.
#13 Claro, pero lo demostró basándose en la premisa de que entre un número entero y otro hay infinitos intermedios. Tal vez esa premisa en sí misma sea falsa, lo cual explicaría por qué se llega a un resultado aparentemente absurdo.
#15 No digo que sea falsa. Digo que tal vez deberíamos considerara que el error es creer que existen infinitos números fraccionarios.
Con respecto a la representación física... lo que pasa es que sabemos que el universo es real y existe. Si los números funcionan diferente del universo, es posible que representen algo irreal e imposible, y por lo tanto den lugar a paradojas y contradicciones con lo que en definitiva se vuelven inútiles más allá de filosofar y explorar cosas imposibles.
#16 A ver, a ver... yo creo que te estás liando. Existen infinitos números fraccionarios en el sentido de que puedes describirlos. Eso no significa que tengan que tener una entidad física, pero claro que "existen" en el sentido de que están definidos, y siempre, entre dos números fraccionarios cualesquiera, puedes calcular fácilmente al menos un número intermedio, con lo que el proceso lo puedes repetir tantas veces como quieras. Por tanto claro que existen infinitos números fraccionarios... pero una vez más en el sentido de que están "definidos" y que existe un método sistemático para obtenerlos. Otra cosa es que tengan entidad física.
Por otro lado, las matemáticas son un MODELO. No es que "el universo funcione como dictan las matemáticas", sino que nosotros creamos modelos matemáticos que se ajustan a lo que observamos en el mundo real. Es muy diferente. Esos modelos matemáticos pueden ser más o menos ajustados, pero no debemos olvidar que las matemáticas son una HERRAMIENTA.
Fíjate por ejemplo en la transformada de Fourier: en ella aparecen "frecuencias negativas", que en el mundo real sencillamente no existen. Pero si no las tienes en cuenta a la hora de hacer operaciones, los resultados no cuadran con la realidad. ¿Significa que sí existen las "frecuencias negativas"? No. Simplemente que el MODELO que ofrece la transformada de Fourier necesita de ellas para funcionar como el mundo real, pero al final, a la hora de INTERPRETAR los resultados, es necesaria una transformación ("quitar las frecuencias negativas") para que el modelo se ajuste a la realidad.
#17A ver, a ver... yo creo que te estás liando. Existen infinitos números fraccionarios en el sentido de que puedes describirlos.
Lo entiendo. Pero pienso que con nuestra imaginación es bastante usual describir cosas aparentemente correctas pero que después tras un análisis llegas a alguna contradicción que te dice que algún error has cometido.
De hecho, en matemática se usa la reducción al absurdo. La famosa demostración de que la raíz de 2 es irracional, por ejemplo. Tu "describes" la raiz de 2 como la división de dos números. Pero el hecho de que tu lo describas así no significa que eso sea posible y el teorema lo demuestra.
Fíjate por ejemplo en la transformada de Fourier: en ella aparecen "frecuencias negativas", que en el mundo real sencillamente no existen. Pero si no las tienes en cuenta a la hora de hacer operaciones, los resultados no cuadran con la realidad.
No te extrañe que esas frecuencias negativas en realidad estén describiendo alguna entidad física que sí sea posible. O tal vez estén compensando alguna inconsistencia de la propia matemática: asumes como real algo incorrecto y eso hace que tengas que asumir como posible algo imposible para que después los resultados cuadren.
A ver. No digo que pretenda inventar una nueva matemática. Sólo digo que hay cosas que no huelen bien.
Nunca me ha gustado esta paradoja. Me parece tan evidente el tema de la autoreferencia, que decir que esto rompe la lógica es un poco cogérsela con papel de fumar. Pero vamos, probablemente es que no entiendo sus implicaciones, no sé. Parece que ha habido gente muy lista rayada con esto, pero a mí personalmente sólo me parece un juego de palabras curioso.
Comentarios
https://www.meneame.net/search?p=tags&q= gödel
Pues yo lo veo bastante fácil:
1) no intentes operar con infinitos.
2) la matemática se basa en la premisa de que entre un entero y el siguiente hay infinitos números. La mecánica cuántica nos ha demostrado que el universo no funciona así, por lo tanto debería revisarse esa afirmación.
3) cuando una cosa hace referencia a sí misma, terminas con algo indefinido.
#3 Recogeras el premio Nobel en breve, enhorabuena.
#5 ¿Verdad que soy un genio diciendo obviedades?
#7 Los números son etiquetas no objetos de la realidad...
#8 Si no buscas asimilarte a la realidad te encontrarás con montones de inconsistencias o paradojas.
#11 La lógica y las matemáticas son lenguaje sobre el que poder decir cosas sobre la realidad ciertas o falsas. Las leyes físicas teorías etc son cosas que se dicen sobre la realidad y se contrastan sobre esta, no pueden ser la certeza absoluta pero sí certezas mayores o menores. La verdad está en la lógica y las matemáticas en el lenguaje en sí. La incompletitud no es ninguna paradoja. Por ejemplo el juego del ajedrez tiene unas reglas de juego y a partir de ellas se descubren jugadas. No se pueden demostrar todas las jugadas sin unas reglas mínimas que definan el juego indemostrables en él. Tampoco se pueden ir metiendo reglas a medida de cada gusto de cada jugador sino unas reglas básicas a medida del juego que se quiere tener.
O sea han de haber unas reglas de partida no demostrables desde el mismo sistema y las menos posibles
Los axiomas fundamentales o principios generales de la lógica y las matemáticas por encima de definiciones y poner nombre a cosas sino principios en los que se sostiene toda la lógica y las matemáticas, y cumple todo teorema son los axiomas o principios de identidad y el de no contradicción que dicen que Si A entonces A , y el otro dice que No (A y no A) a la vez para la misma situación. Se podría haber elegido cualquiera otras reglas pero no sería lógica y matemáticas sino otro sistema formal que llamaríamos con otro nombre. Este lo hemos hecho así porque queremos tener identidades entre la realidad y lo dicho sobre esta y sin contradicciones o las mínimas posibles. Estos axiomas son la definición formal del concepto "verdad" y como es lo que queremos tener elegimos estos y no otros. Por ejemplo Gödel utilizó lógica modal para meter por encima el axioma de la existencia de Dios. Eso ya no es sistema formal sino afirmar lo que ha de ser o no real dentro del sistema formal y utilizar eso como demostración de Dios, o Picachu o lo que se desee. Y es excederse. han de ser estos dos y lo demás exigiendo que la realidad sea así o asá como axioma son peticiones de principio. El lenguaje y el sistema formal de lógica no es la realidad por ejemplo "Esta oración está en inglés cuando nadie la lee" Y se ha de separar una cosa de la otra. Cuando se mezclan y confunde son las paradojas. La realidad se comprueba mediante método científico y la verdad es inalcanzable pero nos podemos aproximar con más o menos certeza. Así la relatividad general no es la verdad sobre la gravedad pero es cierta y es más cierta que Newton que no es falsa pero no es totalmente cierta sino para ámbito restringido. Y así
Por otra parte podemos proponer proposiciones indecidibles que entre ellas se contradigan pero ninguna de ellas vaya en contra de la identidad y la no contradicción. Lo que se hace entonces es aplicar O(A o no A) (que es un teorema derivado de esos dos axiomas) y ponemos unas proposiciones indecidibles u otras y montamos edificios matemáticos con unas y otros con otras y ya está
Con la lógica y las matemáticas no buscas asimilarte a la realidad sino que sea un lenguaje muy pero muy potente y cuanto más potente mejor porque así será más posible expresar la realidad mientras esa sea computable o cognoscible (o sea que la realidad cumpla los dos axiomas de identidad y de no contradicción en sí es cuando esta es computable o puede ser conocida de alguna forma. Se puede comprobar si los cumple o no cuando una variable la que sea de un teorema que se sustituye por otro teorema al operar y se hacen operaciones de un teorema sobre otro, la sustituyes por la expresión de una cosa de la realidad y el teorema donde las puesto ese valor de la variable se sigue cumpliendo )
¿Te sirve?
#18 O sea han de haber unas reglas de partida no demostrables desde el mismo sistema y las menos posible
Estoy de acuerdo. Puede que no se pueda demostrar que son ciertas esas reglas, pero podría ser que sí fuera demostrable que son falsas. Si inventas un conjunto de reglas no demostrables que después te llevan a algo inconsistente o absurdo, tal vez deberías considerar eso como una prueba de que hay algún error en las reglas básicas.
A nosotros nos suena casi obvio que algo se pueda dividir en infinitas partes. Pero puede que sencillamente la realidad no sea así y una matemática basada en algo irreal podría llevarnos a conclusiones absurdas. La falta de consistencia en el nivel más básico con el tiempo iría aflorando en problemas más claros y fáciles de ver.
#20 NO. Léete más despacio mi texto. No se puede demostrar (desde el mismo sistema) que sean ni ciertas ni falsas. porque esas reglas son lo que determina dentro del sistema formal lo que es cierto o falso. Estarías utilizando un sistema formal para juzgar a otro. Lo que da el nombre de verdadero o falso a los teoremas es decir lo que define lo verdadero o falso son esos dos axiomas que indico. Ellos son la definición de verdad y que no se cumplan la definición de falsedad.
Tu argumento en realidad es circular
#21 Ok, a ver si partimos de otro lado. ¿Qué te parece si yo propongo como postulado que NO existen infinitos reales entre dos enteros?
¿Cuántos son entonces? Eso es variables según la escala que decidas tomar. Puedes tomar una escala infinitesimal, con lo cual la cantidad de reales tendería a infinito pero nunca llegaría.
#22 > los conceptos Verdadero o falso viene definido por esos dos axiomas que he indicado. Los axiomas no se pueden referir a sí mismos o es paradójico. Es un sistema formal para decir cosas sobre la realidad. De nuevo "esta oración está escrita en francés cuando nadie la lee". Siempre se refiere a otra cosa incluso a como operar otra cosa del mismo sistema formal pero no a sí mismo.. Que tu afirmación para ser verdadera o falsa depende de los dos axiomas indicados. Es decir son esos axiomas de identidad y de no contradicción más la definición de número real, de infinito y de entero lo que refute o confirme tu postulado...
Es decir este postulado tuyo está afirmado con el lenguaje del sistema formal el cual ya está construido y depende de esos axiomas que he dicho no a la inversa como has especulado
Es decir los axiomas de identidad y de no contradicción no pueden ser correctos o incorrectos por tu postulado sino que tu postulado será correcto o falso por ellos
#3 El punto 2 es falaz. Que el universo esté cuantizado no significa que las matemáticas tengan que estarlo.
#9 En la vida real, puedes tener infinitos gatos pero no puedes cortar un gato en infinitas partes. En la matemática sí se puede y no sólo se puede sino que los pedacitos del gato que cortaste son más que todos los infinitos gatos del universo. Eso me hace pensar que algo no huele muy bien en la matemática.
Si la matemática no representa la realidad... es razonable que se lleguen a paradojas e inconsistencais.
#12 En absoluto. Es lo que tiene el infinito, como demostró Cantor.
#13 Claro, pero lo demostró basándose en la premisa de que entre un número entero y otro hay infinitos intermedios. Tal vez esa premisa en sí misma sea falsa, lo cual explicaría por qué se llega a un resultado aparentemente absurdo.
#14 ¿Por qué es falsa?
EDITO: creo que tu error está en asumir que los números tienen representación física.
#15 No digo que sea falsa. Digo que tal vez deberíamos considerara que el error es creer que existen infinitos números fraccionarios.
Con respecto a la representación física... lo que pasa es que sabemos que el universo es real y existe. Si los números funcionan diferente del universo, es posible que representen algo irreal e imposible, y por lo tanto den lugar a paradojas y contradicciones con lo que en definitiva se vuelven inútiles más allá de filosofar y explorar cosas imposibles.
#16 A ver, a ver... yo creo que te estás liando. Existen infinitos números fraccionarios en el sentido de que puedes describirlos. Eso no significa que tengan que tener una entidad física, pero claro que "existen" en el sentido de que están definidos, y siempre, entre dos números fraccionarios cualesquiera, puedes calcular fácilmente al menos un número intermedio, con lo que el proceso lo puedes repetir tantas veces como quieras. Por tanto claro que existen infinitos números fraccionarios... pero una vez más en el sentido de que están "definidos" y que existe un método sistemático para obtenerlos. Otra cosa es que tengan entidad física.
Por otro lado, las matemáticas son un MODELO. No es que "el universo funcione como dictan las matemáticas", sino que nosotros creamos modelos matemáticos que se ajustan a lo que observamos en el mundo real. Es muy diferente. Esos modelos matemáticos pueden ser más o menos ajustados, pero no debemos olvidar que las matemáticas son una HERRAMIENTA.
Fíjate por ejemplo en la transformada de Fourier: en ella aparecen "frecuencias negativas", que en el mundo real sencillamente no existen. Pero si no las tienes en cuenta a la hora de hacer operaciones, los resultados no cuadran con la realidad. ¿Significa que sí existen las "frecuencias negativas"? No. Simplemente que el MODELO que ofrece la transformada de Fourier necesita de ellas para funcionar como el mundo real, pero al final, a la hora de INTERPRETAR los resultados, es necesaria una transformación ("quitar las frecuencias negativas") para que el modelo se ajuste a la realidad.
#17 A ver, a ver... yo creo que te estás liando. Existen infinitos números fraccionarios en el sentido de que puedes describirlos.
Lo entiendo. Pero pienso que con nuestra imaginación es bastante usual describir cosas aparentemente correctas pero que después tras un análisis llegas a alguna contradicción que te dice que algún error has cometido.
De hecho, en matemática se usa la reducción al absurdo. La famosa demostración de que la raíz de 2 es irracional, por ejemplo. Tu "describes" la raiz de 2 como la división de dos números. Pero el hecho de que tu lo describas así no significa que eso sea posible y el teorema lo demuestra.
Fíjate por ejemplo en la transformada de Fourier: en ella aparecen "frecuencias negativas", que en el mundo real sencillamente no existen. Pero si no las tienes en cuenta a la hora de hacer operaciones, los resultados no cuadran con la realidad.
No te extrañe que esas frecuencias negativas en realidad estén describiendo alguna entidad física que sí sea posible. O tal vez estén compensando alguna inconsistencia de la propia matemática: asumes como real algo incorrecto y eso hace que tengas que asumir como posible algo imposible para que después los resultados cuadren.
A ver. No digo que pretenda inventar una nueva matemática. Sólo digo que hay cosas que no huelen bien.
Es cierto que es falsa.
No veo el dilema, es obvio que es falsa.
Nunca me ha gustado esta paradoja. Me parece tan evidente el tema de la autoreferencia, que decir que esto rompe la lógica es un poco cogérsela con papel de fumar. Pero vamos, probablemente es que no entiendo sus implicaciones, no sé. Parece que ha habido gente muy lista rayada con esto, pero a mí personalmente sólo me parece un juego de palabras curioso.
Yo creo que es como decir que GNU is Not Unix, o algo así